OFP-Tretyak-Lozovski

З'ясуємо тепер, чи локалізований такий стан у просторі? Нехай енергія такого стану Eloc > 0. Підставляючи значення для коефіцієнтів

розкладення хвильової функції (7.16) до (7.10), маємо хвильову функцію такого стану

Для оцінки суми у правій частині (7.25) зверху замінимо функцію (ϕk(R))*

деякою її максимальною величиною, незалежною від хвильового числа– ϕ*(R). Тоді

Праву частину цієї нерівності зручно переписати через так звану функцію Ваньє

Функція Ваньє відмінна від нуля лише в невеликій околиці точки R. Таким чином, хвильова функція (7.25) пропорційна функції Ваньє. Електрон з енергією Eloc локалізований в деякому об'ємі в області

збурення, й за обмеженої величини W0VR чим меншою є енергія збурення, тим більшою буде область локалізації.

Таким чином, ми показали, що за невеликої концентрації дефектів одного типу у забороненій зоні напівпровідника виникає один дозволений енергетичний стан, локалізований у просторі поблизу дефектів, причому область локалізації є тим меншою, чим більшою є енергія збурення, яку привносить домішка до кристалу. Донорний рівень відщеплюється від дна зони провідності та розташовується неподалік від EC з енергією Ed. Акцепторний рівень відщеплюється від стелі валентної

зони EV з енергією Ea. Зрозуміло, що енергії Ei(d ) = EC −Ed та Ei(a ) = Ea −EV будуть енергіями іонізації донорів та акцепторів, відповідно.

7.3. Елементарна теорія дефектів

Усучасній мікроелектроніці найбільшу роль відіграють точкові дефекти: легуючі домішки та рекомбінаційні центри. Розглянемо рух електрона в слабкому полі потенціалу (мілкої) домішки. Необхідно врахувати, що: по-перше, у кристалі електрон характеризується ефективною масою; по-друге, його взаємодія з ядром буде ослаблена внаслідок екрануючих властивостей кристалічної ґратки. Формально цей факт виражається наявністю діелектричної проникності, що від-

різняється від одиниці (напр., для кремнію ε = 12). Вважатимемо, що домішка є донором, тобто

За початок відліку енергії зручно приймати дно зони провідності EC. Рівняння Шредингера матиме вигляд

Розв'язок цього рівняння знаходимо за схемою, аналогічною для атома водню. Як результат отримуємо, що власні значення енергії електрона

Для аналізу цієї формули зручно ввести енергію іонізації атома водню

Тоді рівні енергії електрона донорної домішки виражатимуться через енергію іонізації атома водню

Таким чином, рівень енергії основного стану донорної домішки лежить у забороненій зоні нижче дна зони провідності на величину енергії іонізації донорної домішки

Як видно з цієї формули, енергія іонізації одноразово іонізованої донорної домішки в ε2 разів менша за енергію іонізації атома водню. З іншого боку видно, що енергія дворазово іонізованої домішки лежить нижче рівня енергії одноразово іонізованої домішки. Оцінка величини енергії іонізації п'ятивалентних атомів домішок у германії, де

m* = 0,25 m, а діелектрична стала ε = 16, дає величину 10–2 еB. Радіус орбіти електрона домішки у воднеподібній моделі виражається фор- мулою

є радіусом першої борівської орбіти атома водню (a0 = 0,053 нм). Згідно із(7.35) радіус першої електронної орбіти одноразово іонізованої

домішки a = 3,4 нм. Оскільки стала ґратки германію b = 0,56 нм, то легко побачити, що локалізований на домішці електрон "розмазаний"

по досить великій області кристалу. Це означає, що рух електрона мож- на розглядати як рух вільної частинки із масою m* у суцільному сере-

довищі з діелектричною константою ε, тобто припущення, зроблені при виведенні (7.13), є обґрунтованими.

Аналогічно можна розглянути випадок, коли домішка є акцепторною, тобто у домішкового атома не вистачає електрона для заповнення зв'язку атома напівпровідника, що розташований поруч із домішковим атомом. Розв'язок задачі про рух електрона в кулоновському полі позитивно зарядженого іона дозволяє записати енергію рівнів акцепторної домішки в напівпровіднику

Отже рівень акцепторної домішки лежить у забороненій зоні вище стелі валентної зони.

У літературі часто зустрічається термін глибокий центр, якому, однак, важко дати точне визначення. Якщо за глибокі центри вважати домішки, енергетичні рівні яких лежать поблизу середини забороненої зони, то виникає проблема, пов'язана з існуванням дефектів, властивості яких схожі на властивості глибоких центрів, енергії яких розташовані неподалік від країв зони провідності або валентної зони. Для розуміння причини утворення таких рівнів можна припустити, що в деяких атомах домішок електрони слабко взаємодіють з атомами основної речовини, орбіта електрона атома домішки має малий радіус, а потенціал є екрануючим

Екрануючий потенціал на малих відстанях є великим, а за збільшення відстані – швидко зменшується. Із квантової механіки відомо, що чим вужчим є потенціальна яма, тим більшою є відстань між енергетичними рівнями і тим глибше лежать рівні енергії електрона в потенціальній ямі.

Оскільки в полі потенціалу (7.38) за не дуже малих радіусів (R = 1/α) можуть існувати зв'язані стани електронів, то такий атом може захвачувати більше одного електрона, тому в деяких випадках домішкові рівні можуть бути багатозарядними. Крім того, на дефектах типу глибокого центру можуть захоплюватись як електрони, так і дірки, тобто існувати домішки, які в одних умовах віддають електрон і відіграють роль донорів, а в інших – захоплюють додатковий електрон і поводяться як акцептори. Такі домішки називаються амфотерними. Глибокі центри характеризуються енергіями, що набагато перевищують величину kT. Для їх вивчення існують спеціальні методи спектроскопії глибоких рівнів, які зазвичай називають DLTS (Deep Level Transient Spectroscopy).

Розділ 8 СТАТИСТИКА ЕЛЕКТРОНІВ

УНАПІВПРОВІДНИКАХ

ВУМОВАХ ТЕРМОДИНАМІЧНОЇ РІВНОВАГИ

Повний набір параметрів, необхідний для опису квантових станів, складає чотири фізичних величини. В атомі це зазвичай енергія, модуль орбітального моменту, проекція орбітального моменту на вісь OZ, спін. Для опису електронів у кристалі найзручніше використовувати набір проекцій квазіімпульсу (або хвильового вектора) та спіну.

Згідно із принципом Паулі у будь-якому квантовому стані із повним набором параметрів (L1, L2, L3, s) може перебувати тільки один елек-

трон (взагалі ферміон – частинка із напівцілім спіном). Оскільки набір проекцій квазіімпульсу визначає величину енергії електрона в кристалі, а проекція спіну на визначену вісь має два значення ±1/2, то на д а- ному (невиродженому) енергетичному рівні може знаходитись не біль- ше двох електронів.

Якщо кристал має форму паралелепіпеда із довжиною ребер N1a1, N2a2, N3a3 (Ni – кількість атомів уздовж ребра i, повною кількістю атомів у кристалі є N1N2N3 = N), то і-та проекція хвильового вектора k набуває таких значень

тобто повне число станів у зоні Бриллюена дорівнює N. Це означає, що в невиродженій енергетичній зоні може бути не більше 2N електронів. Якщо зона є g-разово виродженою, то в ній може бути не більше 2 Ng електронів.

8.1. Статистика електронів і дірок

Шестивимірний простір координат та імпульсів називається фазовим. Елемент об'єму в цьому просторі

Повний об'єм фазового простору задається інтегралом за всіма можливими значеннями координат та імпульсів системи

Число електронів в елементі dГ фазового простору має залежати від точки фазового об'єму, де воно визначається, бути пропорційним об'єму dΓ і, очевидно, змінюватись у часі

Функція F (r, p, t) визначає число електронів в одиниці об'єму фазового простору. Таким чином, повне число електронів є інтегралом від (8.3) за всім фазовим простором

то отримаємо ймовірність знаходження одного електрона в одиничному об'ємі фазового простору, тобто f(r, p, t ) є функцією розподілу ймовірності, яка, зрозуміло, має нормуватись на одиницю

Зазначимо, що умови нормування не залежать від часу, у той час як функція розподілу у загальному випадку може залежати від часу. Нехай a – деяка величина, залежна від стану електрона, тобто один електрон у стані (r, p) у момент часу t "продукує" величину а. В елементі фазового простору dΓ знаходиться dN = Nf(r, p, t)dГ електронів, і с у- марним значенням цієї фізичної величини є adN. Уся система електронів формує середню величину, що приходиться на один електрон,

Якщо кристал є однорідним, то ймовірність знаходження частинки у стані, що характеризується імпульсом p, не залежить від координат, й інтегрування за координатами просто дає об'єм кристала. Тоді середня щільність частинок у цьому об'ємі визначається як

Іншими словами, в однорідних напівпровідниках середня щільність електронів дорівнює їхній концентрації. Оскільки хвильовий вектор та енергія електрона зв'язані визначеним співвідношенням – законом дисперсії, то можна вважати, що функція розподілу є функцією енергії. Для системи електронів (узагалі ферміонів) у рівноважному стані функція розподілу може бути отримана в рамках квантової статистики. Виходимо з того, що термодинамічний потенціал системи частинок, що знаходяться в k-му стані, записується у вигляді

8.2. Електрони та дірки

Із погляду статистики дірку можна визначити як вільний, не зайнятий електроном стан E(k). Однак дуже важко зрозуміти, чому відсутність електрона на визначеному стані можна розглядати як частинку. Адже поняття дірки не тільки широко використовується у фізиці напівпровідників для моделювання тих чи інших властивостей, але існує ціла гама прямих експериментальних доказів наявності у напівпровід-

никах дірок – частинок, що характеризуються зарядом e+ = −e > 0 та ефективною масою, яка дорівнює ефективній масі електрона зі знаком мінус хвильовим вектором kp = −k, енергією Ep(kp) = −E(−k). При цьому

дрейфова швидкість дірок спрямована по полю, у той час як дрейфова швидкість електронів – проти поля. Цей факт означає, що основні принципи статистики можна формулювати для носіїв будь-якого одного типу, наприклад електронів, а для дірок усі вирази можна отримати шляхом вищенаведених перепозначень. Для того, щоб деяке збудження можна було вважати частинкою, необхідно переконатись, що воно має всі властивості частинки, й у першу чергу його динамічні характеристики однозначно можна описати як характеристики частинки. Для