Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

OFP-Tretyak-Lozovski

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

13 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 729 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Φ(r)

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

4.4. Метод псевдопотенціалу

Нехай ψ(kα)(r) – хвильова функція, що задовольняє рівнянню Шре-

дингера для кристала, а ϕk,j (r) – сума, складена з атомних хвильових

функцій так, щоб задовольнялась теорема Блоха (див. (4.17)). Важливо, що вимагається ортогональність цих функцій:

∫dr(ψ(kα)(r))*ϕk,j (r)= 0.	(4.21)
Будуємо таку функцію:
Φ(r)= ψ(kα)(r)−∑ak,j ϕk,j (r).	(4.22)
j

Оскільки поблизу ядер ϕk,j (r) поводиться як одна з атомних функцій, що входять до блохівської суми, то функція Ф(r) буде плавною всюди, у тому числі й поблизу ядер. Коефіцієнти ak,j при цьому можна знайти з умови ортогональності

αk,j = −∫dr(ϕk,j (r))*Φ(r)= − ϕk,j Φ.

(4.23)

При визначенні рівняння для функції Ф(r) варто згадати, що хвильові функції, що її утворюють, мають задовольняти рівнянням Hψ(kα) = E(k)ψ(kα)

та Hϕk,j = E j ϕk,j . Тоді, використовуючи визначення (4.22), скомпонуємо

із цих рівнянь таке

	2		Φ(r)+ ∑αk,j E j ϕk,j = E(k)Φ(r)+E(r)∑αk,j ϕk,j ,
−		+U (r)
−	2m	+U (r)
	2m		j	j

яке зручно переписати у вигляді

−	2	+U (r)+ ∑	α	k,j	(E	j	−E(r))ϕ	k,j	Φ(r)+ = E(k)Φ(r).

	2m					Φ(r)
		j

Введемо псевдопотенціал

Vp =U (r)+ ∑αk,j (E j −E(r))ϕk,j .

(4.24)

(4.25)

(4.26)

Тоді (4.25) можна записати у стандартній формі

	2
−		+V	p	(r) Φ(r)= E(k)Φ(r).	(4.27)
−		+V		(r) Φ(r)= E(k)Φ(r).	(4.27)
	2m
	2m

Оскільки Ф(r) є достатньо гладкою функцією, то її можна утворити з невеликого числа плоских хвиль, які забезпечать швидку збіжність процедури для обчислення дисперсійної залежності E(k). Дійсно, псевдопотенціал (4.26) складається із суми атомного U(r) та локального потенціалів

91 Розділ 4. МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ЗОННОЇ СТРУКТУРИ…

	VR (r)= ∑	αk,j (E j −E(r))ϕk,j	,	(4.28)

	j	Φ(r)
тобто	Vp =U (r)+VR (r).			(4.29)

Локальний потенціал VR (r) поводиться як потенціал відштовхування. Із (4.28) видно, що оскільки матричний елемент αk,j є негативним та енергетичні рівні Ej – меншими за рівні зовнішніх електронів E(r), то VR (r) > 0.

З іншого боку, оскільки U(r) < 0, то атомний (кристалічний) потенціал є потенціалом притягання. Іншими словами, ці потенціали взаємно компенсують дію один одного. Така компенсація не є випадковою, а означає, що відповідним вибором хвильової функції Ф(r) можна домогтися істотного зменшення псевдопотенціалу Vp. Звідси випливає,

що псевдопотенціал є гладкішою функцією координат, ніж функція кристалічного потенціалу, оскільки поблизу атомних остовів кристалічний потенціал із глибокими провалами значною мірою компенсується потенціалом відштовхування. Нам відомо, що чим гладкішим є потенціал, тим гладкішою є хвильова функція, отже вона може бути представлена меншою кількістю членів ряду Фур'є.

Може здатися, що введення псевдопотенціалу не має великої користі, оскільки локальний потенціал залежить від функцій Ф та енергії E(r), які ще необхідно визначити. На практиці ці залежності є вельми слабкими, оскільки у (4.28), що визначає потенціал VR(r), функція Ф входить під

знаком інтеграла у чисельнику та знаменнику, завдяки чому залежність від Ф значно слабшає. До того ж, оскільки E >>Ej, то потенціал VR(r) слабо залежить від енергії стану, що розглядається. Отже VR(r) можна

вважати просто функцією, яка в основному залежить від координат, і використовувати його як деякий емпіричний потенціал у рівнянні Шредингера. Фізично найуспішнішими є обчисленнями псевдопотенціалу, засновані на ідеї Хейне та Абаренкова. Сенс полягає у заміні істинного потенціалу модельним, що має вигляд потенціальної ями із

плоским дном в області знаходження атомного остова, VH–A(r) = −Al при r ≤ RM, а за областю атомного остова потенціал вибираєтьсяу вигляді кулонівського: VH–A = −ze2/ r при r > RM (z – хімічна валентність). За вдалого вибору радіусу модельного потенціалу RM глибина ями Al

для стану із заданим значенням моменту кількості руху l має бути підібрана так, щоб розв'язок модельного хвильового рівняння приводив до значень спектроскопічних термів для відповідного вільного іона. Метод псевдопотенціалу є одним із сучасних широко застосовуваних при обчисленні зонної структури напівпровідників і металів. Щодо останнього можна стверджувати: застосування методу псевдопотенціалу у сучасній теорії твердого тіла привело до значного прогресу у розумінні властивостей металів і напівпровідників.

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

4.5. k-p-метод

Утеорії напівпровідників широко використовується метод, розроблений Шоклі, Кейном і Кіттелем. Для розуміння ідеї цього методу згадаємо, що для хвильової функції, яка задовольняє теоремі Блоха

ψk (r)= ei k rϕk (r),

(4.30)

рівняння Шредингера має такий вигляд

−

(r)+

2k2

−i

k +U (r)

(r)= E(k)ϕ

(r).

(4.31)

Оскільки оператор імпульсу p = – i , то (4.31) можна переписати як

−

+U(r)+

(r)=

(k)−

2k2

(r).

(4.32)

k,n

Вважатимемо, що для деякого стануk0 розв'язок рівняння Шредингера відомий. Тоді можна шукати розв'язок цього рівняння в області поблизу стану k0 як суперпозицію хвильових функцій, відповідних стану k0

ϕk,n (r)+ ∑cnm (k −k0 )ϕk0n (r).	(4.33)
m

Оскільки хвильова функція ϕk0n є розв'язком рівняння Шредингера

p +

2k2

+U (r)

= E

)ϕ

(4.34)

2m m

то (4.34) можна записати у вигляді

(k −k

) p +

(k2

−k2 )

= E

(k)ϕ

Підставимо сюди хвильову функцію у вигляді (4.33), і подіємо на отримане рівняння оператором Ik0 = ∫drϕ*k, n .... У результаті отримаємо сис-

тему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів cmn

		2

∑ En (k0 )+			(k2	−k02 )	δmn +		(k −k0 ) pmn	cmn = En (k)cmn	,	(4.35)
∑ En (k0 )+	2m		(k2	−k02 )	δmn +	m	(k −k0 ) pmn	cmn = En (k)cmn	,	(4.35)
m	2m					m

де введено позначення				pmn = ∫drϕ*k0m (r)pϕk0n (r).						(4.36)

Якщо останній доданок у фігурних дужках розглядати як збурення, то у другому порядку теорії збурень отримаємо

93	Розділ 4. МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ЗОННОЇ СТРУКТУРИ…

En (k)= En (k0 )+		(k −k0 )pnn +	2	(k2 −k02 )+	2	∑	\|(k −k0 ) pnn′\|2	. (4.37)
	m		2m		2
					m	n′ En (k0 )−En′(k0 )

Якщо стан k0 відповідає екстремуму енергії і pnm + k0 = 0, то закон

дисперсії (4.37) відповідає сфероїдальним ізоенергетичним поверхням. У головних осях i компоненти ефективних мас

∑

(i p

nn′

(4.38)

n′

En (k0 )−En′(k0 )

та енергія мають стандартний вигляд із квадратичним законом дисперсії. Тобто kp-метод приводить до стандартного результату, що дає метод ефективної маси. За допомогою kp-методу зручно розглядати дисперсію електронів з урахуванням спин-орбітальної взаємодії, гамільтоніан якої має такий вигляд

	2
HSO =			( U ×p) σ,	(4.39)
HSO =	2	2	( U ×p) σ,	(4.39)
	4m c

де σ – матриці Паулі. Приєднання до гамільтоніана доданка, що описує спін-орбітальну взаємодію, викликає появу у квадратних дужках рівняння (4.35) доданків

	HSO(1)	=						( U×p) σ	(4.40)
				2		2
				4m c
та	HSO(1)	=					( U×k) σ.		(4.41)
				2	2
			4m c

Ці оператори діють на модулюючу частину блохівської функції. У багатьох випадках їх можна розглядати як збурення. Таким чином загальний оператор збурення в kp-методі із врахуванням спін-орбіталь- ної взаємодії матиме вигляд

			1		( U
H ′ =		kp +
			4mc	2
	m

×(p + k))σ .	(4.42)

Доданок HSO(1) , що не залежить від k , аналогічний атомному параметру спін-орбітального розщеплення, а HSO(2) , пропорційний k, – являє собою додаткову спін-орбітальну енергію, яка походить від особливостей руху електрона у періодичному полі кристала. Внесок від HSO(2) є набагато меншим за внесок до енергії електрона від гамільтоніана HSO(1) , оскільки

квазіімпульс k є дуже малим порівняно із середнім імпульсом еле-

ктрона |p|= < ϕ*k |p|ϕk > /a (а – стала ґратки) в області атомного остова, де спін-орбітальна взаємодія найістотніша. Це означає, що

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

швидкість електрона на атомній орбіті є набагато більшою за швидкість хвильового пакета, який складається із хвильових векторів в околі k0. Найбільш плідним kp-метод виявився для розрахунків зонної структури кристалів із симетрією типу алмазу (напр., кремнію й германію) та цинкової обманки (напр., InSb і GaAs). Детальніше застосування kp-методу для обчислення закону дисперсії носіїв у напівпровіднику із врахуванням спін-орбітальної взаємодії буде розглянуто нижче.

4.6. Метод ефективної маси

Напівпровідник

основ-

ному стані (Т = 00 К) являє со-

бою

багатоелектронну

систе-

му

із повністю заповненою

валентною зоною, порожньою

зоною провідності й неіоні-

зованими домішками. Зрозу-

міло, що тільки завдяки збу-

ренням (напр.,

ненульовій

температурі) у зоні провіднос-

ті можуть з'явитися заповнені

стани, що заповнюватимуть-

ся, починаючи з тих, які х а-

рактеризуються найменшими

Рис. 4.1. Енергетичні стани поблизу дна

значеннями енергії. Іншими

зони провідності та стелі валентної зони

словами, починають заповню-

ватись стани у зоні провідності поблизу мінімальних значень енергії. Це означає, що найцікавішими є такі значення енергії електрона у напівпровіднику, що знаходяться поблизу мінімуму зони провідності. Раніше ми з'ясували, що поблизу екстремуму енергетичний спектр електрона в кристалі є принаймні квадратичною функцією квазіімпульсу. Цей факт є основою широко вживаного методу ефективної маси при визначенні енергетичного спектра електронів у напівпровіднику.

4.6.1.Розкладання енергії електрона поблизу екстремальних точок

Основна ідея методу ефективної маси полягає в наступному. Як відомо, хвильова функція електрона в ідеальному кристалі являє собою

блохівську функцію ψk(r), що задовольняє рівнянню

95	Розділ 4. МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ЗОННОЇ СТРУКТУРИ…
			2							(r).
		−		2	+U (r)	ψ	k	(r)= E(k)ψ	k		(4.43)
		−		2	+U (r)	ψ		(r)= E(k)ψ			(4.43)
			2m
			2m

Поблизу екстремуму k0 енергію електрона можна представити у вигляді квадратичної функції квазіімпульсу

E(k)= E(k0 )+	2		(k −k0 )2 .	(4.44)
	2m	*

Тепер уявимо, що ми вивчаємо рух вільної частинки із масою, яка збігається з ефективною масою електрона в кристалі m* у сталому полі E(k0). Динаміка такої частинки описується рівнянням Шредингера

Heψ0 = E0ψ0

(4.45)

із гамільтоніаном	H		= −	2	∆2 +E(k		).	(4.46)
		e		2m*		0

Неважко впевнитись, що хвильова функція ψ0 = Aei(ax+by+cz ) є розв'язком рівняння (4.45) із гамільтоніаном (4.46). При цьому власні значення

E = E(k0 )+

(4.47)

Порівнюючи вирази для енергій (4.44) та (4.46), можна побачити, що енергії збігаються у випадку, коли

a =kx −k0x , b =ky −k0y , c =kz −k0z .

(4.48)

Таким чином, можна дійти дуже важливого висновку: гамільтоніан (4.46) має той самий спектр енергії, що й гамільтоніан поля ґратки в околі екстремуму k0, а його власні функції мають вигляд плоскої хвилі

ψ0(r)= A ×exp{i(k −k0 ) r},

(4.49)

тобто рух електрона у кристалі з енергіями, що знаходяться поблизу екстремального значення E(k0), подібний до руху вільної частинки з

ефективною масою m* у сталому полі E(k0). Таким чином:

Метод ефективної маси неявно містить ідею квазічастинки – динаміку реальної частинки у складному кристалічному потенціалі можна описати деякою уявною вільною частинкою,

що характеризується ефективною масою m*.

У випадку анізотропного кристала (4.44) перейде у рівняння

E(k)= E(k0 )+	2	(mij* )−1(ki −k0i )(k j −k0 j ),	(4.50)
	2

а (4.47), записане в головних осях, – у рівняння

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

−k

(ky −k0y )2

−k

E = E(k0 )+

(4.51)

Іншими словами, тепер квазічастинка характеризуватиметься різними значеннями мас за руху у різних напрямках. Отже, можна стверджувати, що для енергій поблизу мінімумів зони провідності електрон у кристалі можна вважати квазічастинкою, яка описується тензором ефективних мас.

4.6.2. Динамічний аспект проблеми ефективної маси

Покажемо, що компоненти тензора (mij* )−1 у (4.50) або параметр m* у

розкладанні (4.44) визначають динамічні властивості електронних збуджень у кристалі, та їх можна вважати масою деякої частинки. Розглянемо рух електрона, коли на кристал діє зовнішнє поле. Нехай це буде однорідне силове поле

V (r)= −Fext r .

(4.52)

Динаміка частинки у цьому випадку описується гамільтоніаном

ˆ	2	2	ˆ	+V (r).
H = −			+U (r)+V (r)= H0		(4.53)
H = −	2m		+U (r)+V (r)= H0		(4.53)
	2m

Визначимо оператор прискорення як похідну за часом від оператора швидкості

= dv

= −

− ˆ ˆ

(vH

Hv)

Оскільки оператор швидкості комутує з гамільтоніаном

, то

= −

−

(vV (r)

V (r)v)

(4.54)

(4.55)

Представимо оператор швидкості через похідну від енергії за квазіімпульсом частинки vˆ = dE/ dk і підставимо його до (4.55)

ˆ	1		dE	V (r)−V (r)	dE .	(4.56)
a =	i	2		V (r)−V (r)
	i		dk		dk

Використаємо тепер явний вигляд оператора зовнішнього поля, попередньо записавши його в k-просторі за допомогою представлення оператора координати в (4.52) через оператор імпульсу

r(k)= i k −i( klnχ*k ),

(4.57)

де χk – блохівська хвильова функція (див. додаток С). Тоді оператор (4.52)

можна записати у вигляді суми операторів диференціювання та множення

97	Розділ 4. МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ЗОННОЇ СТРУКТУРИ…
	V (k)= −i F		+ i F	*	(4.58)
		k		ln χ.
	ext		ext	k k

Підставляючи цей вираз до (4.56) і зважаючи на те, що оператор шв и- дкості комутує з другим доданком оператора (4.58), отримуємо

	1	(ext )	d2E
aˆi =		Fj		.	(4.59)
	2		dkjdki

При виведенні формули використано той факт, що i(Fext k)(dE/dk) є добутком операторів диференціювання та множення, і його дія на

деяку функцію дає такий результат

i(Fext k )dEdk ϕ(k)= i dEdk (Fext kϕ(k))+ iFext ddk dEdk ϕ(k).

Таким чином, комутатор

(−iF

)+(iF

)dE = −dE

(iF

ext

+ dE (iF

)+ i

d dE

= iF(ext )

d2E

ext

dk dk

Взявши до уваги, що

d dE

= F (ext )

та

d2E

= (m* )−1

ext

dkj dki

dk dk

dkjdki

(4.60)

(4.61)

з'ясуємо таке: вектор прискорення за руху частинки в однорідному силовому полі зв'язаний із силою, що діє на частинку через тензор ефективної маси

ai = Fj(ext )(mi*j )-1 ,

(4.62)

тобто прискорення надається електрону зовнішньою силою. При цьому динамічною характеристикою, що визначає реакцію електрона в кристалі на дію зовнішньої сили, є ефективна маса. Отже, незважаючи на те, що поле ґратки не прискорює електрон, воно діє на нього при формуванні його руху під дією зовнішніх полів. У випадку, коли ефективна маса є скаляром (або діагональним тензором) вектори а та Fext є колінеарними. В інших випадках прискорення не колінеарне зовнішній силі. Розглянемо для простоти випадок руху електрона, що характеризується скалярною ефективною масою в однорідному електричному полі (Fext = −eE, е – заряд електрона). Тоді, якщо зонний електрон

знаходиться в околі мінімуму енергії, ефективна маса є величиною позитивною, і прискорення направлене проти поля, за напрямком сили. Якщо ж зонний електрон знаходиться в околі максимуму енергії, то

ОСНОВИ ФІЗИКИ НАПІВПРОВІДНИКІВ

ефективна маса частинки є негативною, і прискорення, яке отримує електрон, направлене по полю, тобто він рухається так, якби його заряд був позитивним. У випадках, коли частинки характеризуються негативною ефективною масою та позитивним зарядом, кажуть, що під дією зовнішнього поля рухаються дірки. Таким чином, при збудженні напівпровідника в стани з енергіями (які знаходяться поблизу дна зони провідності) квазічастинками, що описують такі збудження, існують зонні електрони. Якщо ж збудження відбуваються в стани з енергіями, що знаходяться поблизу стелі валентної зони, квазічастинки, які описують такі збудження, є дірками.

4.7. Спін-орбітальна взаємодія

Як відомо, електрон характеризується "внутрішнім" моментом – спіном; в атомах взаємодія магнітного моменту спину електрона з його орбітальним рухом приводить до розщеплення та зсуву рівнів енергії атома. Зрозуміло, що спін-орбітальна взаємодія викликає аналогічні ефекти й у твердому тілі. Якщо електрон локалізований в околі певної просторової точки, то він знаходиться в електричному полі E, що утримує його поблизу цієї точки. Але це поле діє також і на спін елек т- рона. Строгий вивід гамільтоніана такої взаємодії проводиться в рамках релятивістської квантової теорії, але з точністю до безрозмірного фактора гамільтоніан можна знайти, виходячи із простих фізичних міркувань. Розглянемо електрон як класичну частинку та введемо дві системи координат – лабораторну, що пов'язана з центром локалізації електрона, і таку, що рухається разом з електроном зі швидкістю v. Згідно із перетвореннями Лоренца для електромагнітного поля, електричне поле, що існує в лабораторній системі координат, обумовлює в рухомій системі магнітне поле

HL =	1 E × v .	(4.63)
	c

Якщо електрон рухається у самоузгодженому періодичному потенціалі кристала U(r), то

E =	1	U (r).	(4.64)
	e

Із теорії спіну електрона відомо, що власний вектор оператора спіну

S =		σ ,	(4.65)
	2

де σ – дворядні матриці Паулі

99	Розділ 4. МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ЗОННОЇ СТРУКТУРИ…

σ	=	0		1	, σ	2	=	0	−i	, σ	3	=	1		0 .	(4.66)
1			1	0		2			0		3			0
			1	0				i	0					0	−1

Видно, що проекція спіну на вісь OZ має значення s = ± /2. З релятивістської теорії Дірака відомо, що магнітний момент обумовлений спіном електрона

	µ = −µ0σ ,					(4.67)
де магнетон Бора	µ		=	e	.	(4.68)
		0		2mc

Енергія дипольного моменту µ у магнітному полі H

W = −µ H.
Використовуючи (4.63) та (4.64), маємо
	1		v
µ H = µ0σ		U (r)×		.

e			c

Оскільки v = p/m = −(i /m) , то (4.70) можна переписати

µ H= −	i 2		σ ( U (r)× ).
µ H= −	2	2	σ ( U (r)× ).
	2m c

(4.69)

(4.70)

(4.71)

Більш послідовна релятивістська теорія дає вдвічі меншу величину енергії, ніж оцінка (4.71), і тому замість 2 у знаменнику (4.71) необхідно писати коефіцієнт 4. Таким чином гамільтоніан спін-орбітальної взаємодії, отриманий із послідовної релятивістської теорії,

	2
Hs−o = −	i	σ ( U (r)× ).	(4.72)
	2 2
	4m c

У результаті отримуємо, що гамільтоніан електрона у кристалі із врахуванням спін-орбітальної взаємодії має такий вигляд

		2
	H = H0 −		i		σ ( U (r)× ),	(4.73)
	H = H0 −	2		2	σ ( U (r)× ),	(4.73)
		4m c
де	H0 = −		2	+U (r).		(4.74)
де	H0 = −		2m	+U (r).		(4.74)
			2m
	Тепер запишемо рівняння на власні значення
	H(σ, r)Ψ(s, r) = EΨ(s, r),					(4.75)

де s = ±1/2 – проекція спіну на вісь OZ. Хвильову функцію шукаємо у вигляді

Ψ(s, r) = Ψ1(r)ν1(s) + Ψ2(r)ν2(s),

(4.76)

де ν1(s) і ν2(s) – спінові функції Паулі (спінори), які дорівнюють амплітудам ймовірності того, що спин направлений уздовж або проти вісі OZ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 729 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019360 Кб5OE_Lab_6.doc
#
08.11.2019219 Кб2OE_Lab_7.doc
#
07.03.2016828 Кб7OECD_OsloManual_rus.pdf
#
08.11.2019295 Кб4OED_n_S Work Program 2009.doc
#
01.07.202582 Кб1Oformlenja DP.doc
#
19.03.201513 Мб68OFP-Tretyak-Lozovski.pdf
#
19.03.20151 Мб20Ohienko_Istoriia_ukr_literat_movy_2001.pdf
#
19.03.20152 Мб13Ohorona_pratsi.pdf
#
19.03.2015152 Кб212OiV_1-6.docx
#
18.11.201972 Кб1olimp_biol_8.doc
#
06.09.2019181 Кб1OncoGen.doc