→
MM2 ={1 3 −2;0 −0;−1 3 −(−4)}={−5 3;0;11 3}.
Теперь получим координаты вектора нормали
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
i |
|
j |
k |
|
11 r |
|
19 r |
|
|
|
r |
||
r |
|
|
11 1 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||
n |
= MM1×MM2 |
= |
− |
|
|
|
4 |
= |
|
i |
− |
|
j |
+ |
|
|
k , |
|
7 |
7 |
21 |
21 |
21 |
||||||||||||
|
|
|
− |
5 |
0 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и уравнение плоскости
1121 (x −2)−1921 (y −0)+ 215 (z −(−4))= 0
или
11x −19 y +5z −2 = 0 .
Задача 14.2
Из точки A(1;−1;2) опущен на плоскость α перпендикуляр. Его основание — M (0;1;3). Найти:
а) уравнение плоскости α ;
б) уравнение плоскости β , проходящей через ось Oz , если угол между плоскостями α и β равен 5π
6 .
Решение задачи
а) Нормальный вектор плоскости α
→ →
n1 = AM = {0 −1;1 − (−1); 3 − 2}= {−1; 2;1}.
Получаем уравнение плоскости, проходящей через точку M , с нормальным вектором n1
−1(x −0)+2(y −1)+1(z −3)= 0 ,
− x +2 y + z −5 = 0 .
б) Плоскость β проходит через ось Oz , следовательно, её урав-
нение запишется в виде |
|
Ax + By = 0 , |
(*) |
соответственно, её нормальный вектор n2 ={A; B;0}. |
|
47
Угол между плоскостями равен углу между нормалями, то есть
rn1 |
|
nr2 |
= cos |
5π |
, |
|
6 |
||||||
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
−1 A + 2 B +1 0 |
|
= − |
3 |
, |
|||
|
(−1)2 + 22 +12 |
A2 + B2 + 02 |
2 |
|
|||||
|
|
− A + 2B |
= − |
3 . |
|
|
|||
|
|
6 |
A2 + B2 |
|
|
2 |
|
|
|
Заметим, что здесь удобно искать не сами значения A и B , а |
|||||||||
их отношение. Обозначим E = B A . |
|
|
|
|
|||||
|
|
−1 + 2E = − |
3 |
, |
|
|
|||
|
|
|
1 + E2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 −2E = |
3 |
1 + E2 , |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 −4E +4E2 = |
9 + 9 E2 , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 E2 +4E + |
7 |
= 0 , |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
E1 = −1, E2 = −7 . |
|
|
|||||
Вынося из (*) |
A за скобки, |
получим два варианта уравнений |
|||||||
плоскости β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y = 0 и x −7 y = 0 . |
|
|
|||||
|
|
|
Задача 14.3 |
|
|
|
|||
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через точки |
|||||
A(−2;1;3) |
и |
B(5;4;−1) |
перпендикулярно |
плоскости |
|||||
x +3y −2z +10 = 0 .
48
Решение
→ |
−4} и |
→ |
={1;3;−2} параллельны иско- |
Векторы AB ={7;3; |
n1 |
мой плоскости, поэтому её нормальный вектор будет коллинеа-
рен их векторному произведению, и, в частности, можно положить |
|||||||
n = n1 |
× AB = |
|
ir |
rj |
kr |
|
= 6ir +10 rj +18kr. |
|
|
||||||
|
7 |
3 |
−4 |
|
|||
→ → |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно записать уравнение плоскости, проходящей че-
→
рез заданную точку A с известным вектором нормали n
6(x −(−2))+10(y −1)+18(z −3)= 0
или
6x +10 y +18z −52 = 0 .
Справочный материал для задач 15, 16
Прямая в пространстве определяется каноническими уравне-
ниями |
|
|
x − x0 |
|
|
y − y0 |
|
|
z − z0 |
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
= |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
p |
|||||
Здесь M0 |
(x0; y0; z0 ) — точка, через которую проходит прямая L , |
|||||||||||||||||
а вектор |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l ={m;n; p} — направляющий вектор прямой, колли- |
||||||||||||||||||
неарный этой прямой (рис. 13). В частности, если прямая L про- |
||||||||||||||||||
ходит через две точки M1(x1; y1; z1) |
и M2 (x2; y2; z2 ), её уравне- |
|||||||||||||||||
ния выглядят так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x − x1 |
|
= |
|
y − y1 |
= |
z − z1 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
2 |
− x |
|
y |
2 |
− y |
|
|
z |
2 |
− z |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||
Прямую можно задать параметрическими уравнениями, ко-
торые получаются из канонических, если каждую часть равенства приравнять к параметру t
49
x = x0 +mt
y = y0 +n tz = z0 + p t.
Иногда прямая задаётся как линия пересечения плоскостей
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.
Варианты взаимного расположения двух прямых:
1)пересекаются (имеют общую точку, и их направляющие векторы не коллинеарны);
2)скрещиваются (не имеют общей точки, и их направляющие векторы не коллинеарны);
3)параллельны (не имеют общей точки, и их направляющие векторы коллинеарны);
4)совпадают (имеют общую точку, и их направляющие векторы коллинеарны, или имеют более одной общей точки).
Варианты взаимного расположения прямой и плоскости:
1)пересекаются (в частности, могут быть взаимно перпендику-
r^ r |
=/ π |
2 |
r |
=/ 0 ); |
лярными) ( l , n |
, то есть l n |
2)параллельны ( l nr, то есть, l nr = 0 );
3)прямая лежит в плоскости (прямая и плоскость параллельны и имеют общую точку).
Угол между прямой и плоскостью равен углу, дополнительно-
му к углу между направляющим вектором прямой l и вектором нормали плоскости n (рис. 18), то есть
sinϕ = |
nr l |
r |
. |
r |
|||
|
| n | | l | |
||
Если прямая и плоскость перпендикулярны, то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны.
50