a11x1 +a12 x2 +K+a1n xn = b1a21x1 +a22 x2 +K+a2n xn = b2

LLLLLLLLLLL .

an1x1 +an2 x2 +K+ann xn = bn

Матрица системы, к которой присоединен столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы

1. Прямой ход метода Гаусса. С помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к трапециевидному виду. Элементарными преобразованиями в расширенной матрице называются преобразования, которые не меняют множество решений системы.

Элементарные преобразования в расширенной матрице:

1.перемена местами строк;

2.умножение (деление) стоки на число, отличное от нуля;

3.прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

4.вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;

5.вычеркивание нулевой строки.

2.Обратный ход метода Гаусса. Записываем получившуюся

систему. Вначале из последнего уравнения находим xn . Подставляем xn в предыдущее и находим xn−1 , и так далее. Подставив все полученные xi ( i = 2,K,n ) в первое уравнение, находим x1 .

Решение задачи

Выпишем расширенную матрицу системы.

17

1. Прямой ход. Умножим первую и вторую строки на 3, а третью — на 2, затем вычтем из второй и третьей строк первую. Нули в первом столбце получены.

Получим нулевой элемент во втором столбце. Для этого ум-

ножим вторую строку на 83 , третью — на 5, и вычтем из третьей строки вторую.

18

Справочный материал к задаче 8

Однородная система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными записывается в виде

a11x1 +a12 x2 +K+a1n xn = 0

a12 x1 +a22 x2 +K+a2n xn = 0 .

LLLLLLLLLLLLL

am1x1 +am2 x2 +K+amn xn = 0

Однородная система линейных алгебраических уравнений всегда имеет нулевое (тривиальное) решение

0

x1 = 0, x2 = 0,K, xn = 0 , или X = 0 .

K0

Если ранг матрицы однородной системы равен числу неизвестных (то есть n ), то она имеет только нулевое решение.

Если ранг матрицы меньше n , то она имеет ненулевые решения.

Если матрица однородной системы — квадратная, то однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда det A = 0.

Однородная система линейных уравнений решается методом Гаусса. После прямого хода метода Гаусса находится ранг матрицы системы (равный числу получившихся ненулевых строк). Он соответствует числу главных неизвестных, которые выбираются из соображений удобства обратного хода метода Гаусса. Остальные неизвестные называются свободными. Они могут принимать произвольные значения и переносятся в правую часть системы уравнений.

Пусть однородная система линейных алгебраических уравнений имеет k линейно независимых ненулевых решений (подробнее о линейной независимости см. компендиум "Тема 1. Элементы линейной алгебры"). Эти решения

19

образуют фундаментальную систему, если любое решение системы X , можно представить в виде:

X = c1X1 +c2 X2 +K+ck Xk .

Число решений k в фундаментальной системе равно числу свободных неизвестных.

Задача 8.1

Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений

Решение задачи

Ранг матрицы равен 3, значит, надо выбрать из четырёх неизвестных три главных и одну свободную. Поскольку свободная неизвестная будет перенесена в правую часть, выберем её таким образом, чтобы оставшиеся образовывали верхнетреугольную матрицу. В данном случае в качестве свободной неизвестной удобно взять x2 или x3 . Пусть это будет x2 . Положим x2 =C ,

где C — произвольное число, и перенесём его в правую часть. Система приобретает вид

20