|
Задача 10.1 |
|
→ |
r |
Вычислить проекцию вектора AB на направление вектора |
b |
={−1;1;2}, где A(0;2; −1), B(3;4;0). |
|
Решение задачи |
|
→ |
Найдём вектор AB . Для этого из координат конца вектора вычтем координаты начала
→ |
|
|
|
|
|
AB ={3 −0;4 −2;0 −(−1)}={3;2;1}. |
|
||||
Теперь найдём проекцию |
|
||||
→ |
→ |
r |
|
||
ABr b = 3 (−1)+2 1 +1 2 = 1 . |
|||||
прr AB = |
|||||
b |
|
b |
(−1)2 +12 +22 |
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
Задача 10.2 |
|
|
При каком k векторы |
a ={1;−2;k} и b ={4;0;1} будут вза- |
||||
имно перпендикулярны?
Решение задачи
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю
ar b = 0 ,
то есть |
|
|
1 4 +(−2) 0 +k 1 = 0 , |
|
|
откуда |
|
|
k = −4 . |
|
|
Задача 10.3 |
|
|
Найти координаты вектора |
p , коллинеарного |
вектору |
qr ={0;−2;1}, если известно, что |
p образует с осью |
Oz тупой |
угол, и pr = 2 .
32
|
Решение задачи |
||||
Поскольку векторы |
p и q коллинеарны, найдётся такое чис- |
||||
ло k =/ 0 , что p = k q , |
то есть p ={0;−2k;k}. Из условия |
|
pr |
|
= 2 |
|
|
||||
получаем |
|
|
|
|
|
02 + (− 2k )2 + k 2 = 2 k = ± 2 . |
|||||
|
5 |
|
|
|
|
Угол между вектором p и осью Oz — тупой, значит, третья координата вектора p — отрицательная, то есть
k = − 25 .
r |
|
0; |
4 |
;− |
2 |
|
Окончательно, p = |
5 |
5 |
. |
|||
|
|
|
|
|
||
Задача 11.1
а) Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 2ar+b и 3b −ar, если ar = 5 , br = 2 , угол между векторами
a и b равен 60o .
б) Найти длину вектора 2ar+b .
Решение задачи
а) Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения
S = 12 (2ar + br)×(3br − ar) = 12 6ar ×br − 2ar×ar + 3br ×br − br ×ar = = 12 6ar×br−2 0r+3 0r+ar×br = 12 7ar×br =
|
1 |
r |
r |
|
^ r |
|
1 |
o |
|
35 3 |
|
= |
|
r |
|
= |
= |
. |
|||||
2 |
7 | a || b |
| sin a |
, b |
2 |
7 5 2 sin 60 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Длину вектора 2ar+b можно найти, умножив его на самого себя скалярно
2ar+br2 = (2ar+br) (2ar+br)= 4ar ar+4ar br+br br =
33
r 2 |
r |
r |
r^ r r 2 |
2 |
o |
+2 |
2 |
= |
= 4 | a | |
+4 | a |
|| b | cos(a , b)+| b | |
= 4 5 |
+4 5 2 cos60 |
|
|||
=100 +20 +4 =124 2ar+br = 
124 .
Задача 11.2
|
Найти вектор |
c , |
зная, что |
он |
перпендикулярен |
векторам |
||||||
ar ={0;1;−1} |
и |
b ={−2;0;1} |
и |
удовлетворяет |
условию |
|||||||
cr |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(j |
−3k )= −2 . Найти орт вектора c . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
||||||
|
Вектор, перпендикулярный двум векторам, коллинеарен их |
|||||||||||
векторному произведению, то есть c = k cr1 ( k =/ 0 ), где |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
i |
j |
k |
= |
|
|
|
|
|
c1 |
= a |
×b = |
0 1 −1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
= ir(1 1−0 (−1))− rj(0 1 −( |
−2) (−1))+ |
k (0 0 −(−2) 1)= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
= ir+2 rj +2 k . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cr = k (i + |
2 j +2 k ). |
|
|||||
|
Найдём k |
из условия cr (rj −3k )= −2 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k(1 0 + 2 1 + 2 (− 3))= −2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Окончательно,
cr = 12 ir + rj + kr .
Найдём орт s вектора c .
34
|
|
|
r |
|
|
1 r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
1 r |
r r |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sr |
= |
|
cr |
= |
|
|
2 i + j + k |
|
|
|
= |
2 i + j + k |
|
== 1 ir |
+ |
2 rj + |
2 kr . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
3 2 |
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (1) |
|
+ |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вычислить |
|
объём |
|
треугольной |
пирамиды |
с |
вершинами |
|||||||||||||||||||||
A(1;2;−1), |
B(1;2;3), |
C(2;−1;−1), D(3;2;−1). Какую тройку (пра- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|||
вую или левую) образуют векторы AB , |
AC и AD ? |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Объём пирамиды вычисляется по формуле |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
1 |
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
AB AC AD |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим координаты векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= |
{1 −1;2 −2;3 −(−1)}={0;0;4} |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= |
{2 −1;−1−2;−1−(−1)}={1;−3;0} |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AC |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= |
{3 −1;2 −2;−1 −(−1)}={2;0;0} |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AD |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Теперь найдём их смешанное произведение. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ → → |
|
|
0 |
|
0 |
4 |
|
= 4 (−1)1+3 |
|
21 − |
03 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
AB AC AD = |
1 |
|
−3 0 |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 (1 0 −2 (−3))= 24 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Смешанное произведение — положительное, значит, векторы образуют правую тройку.
Объём пирамиды V = 16 24 = 4 .
Справочный материал для задачи 13
Прямая линия на плоскости определяется следующими уравнениями:
35
1. Уравнение с угловым коэффициентом y = kx +b ,
где k = tgϕ — угловой коэффициент (рис. 12). Если известен угловой коэффициент k прямой и точка M0 (x0; y0 ), через которую
проходит прямая, то уравнение прямой выглядит так y − y0 = k(x − x0 ).
y |
|
b |
|
ϕ |
|
0 |
x |
Рис. 12. |
|
2. Каноническое уравнение прямой
x −mx0 = y −ny0 .
Здесь Mr0 (x0; y0 ) — точка, через которую проходит прямая L , а
вектор l ={m;n}— направляющий вектор прямой, который коллинеарен этой прямой (рис. 13).
r |
M 0 |
L |
l |
Рис. 13.
В частности, если прямая L проходит через две точки M1(x1; y1) и M2 (x2; y2 ), её уравнение выглядит так
x − x1 |
= |
y − y1 |
. |
||||
|
|
||||||
x |
2 |
− x |
|
y |
2 |
− y |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
3. Общее уравнение прямой
Ax + By +C = 0 ,
причём nr ={A; B}— вектор нормали прямой или нормальный вектор, то есть вектор, перпендикулярный прямой.
36