Справочный материал для задачи 6

Трапециевидная матрица содержит нули под элементами a11 , a22 , a33 ,... (рис. 4).

Рис. 4.

Ранг матрицы после приведения её к трапециевидной форме равен количеству различных ненулевых строк.

К трапециевидной форме матрица приводится с помощью элементарных преобразований над её строками и столбцами:

1.перемена местами строк (столбцов);

2.умножение (деление) стоки (столбца) на число, отличное от нуля;

3.прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число;

4.вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;

5.вычеркивание нулевой строки.

Задача 6

Решение задачи

Получим нули в первом столбце кроме его первого элемента. Для этого вычтем из второй строки первую, а из третьей — пер-

12

вую, умноженную на 3. Потом поменяем местами вторую и четвёртую строки.

Далее прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 5, а к четвёртой — вторую, умноженную на 3. Заметим, что две последние строки оказались пропорциональны, и уберём одну из них.

Задача 7.1

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

2x −4y+z= 42x + y −2z =1

.3x −2 y +4z =11

Справочный материал

Если определитель системы трёх линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными

13

a11x +a12 y +a13z = b1a21x +a22 y +a23z = b2

a31x +a32 y +a33z = b3

отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера

х = 1 , y = 2 , z = 3 .

Он не равен нулю, следовательно, система имеет единственное решение.

Аналогично вычислим вспомогательные определители

По формулам Крамера получаем решение системы уравнений

14