r n l

ϕ

Рис. 18.

Точку пересечения прямой и плоскости можно найти, подставив в уравнение плоскости параметрические уравнения прямой и решив уравнение относительно t . Подстановка полученного значения параметра t в уравнения прямой даёт координаты искомой точки.

Задача 15.1

Решение задачи

а) Прямая расположена в плоскости Oxy , следовательно, её на-

правляющий вектор можно искать в виде l ={m;n;0}. Найдём его из условия перпендикулярности вектору l1 ={1;−1;3}

l l1 = 0 ,

m 1 + n (−1)+ 0 (3)= 0 , m = n .

Получаем канонические уравнения прямой x n−1 = y n− 2 = z −0 0

51

или

x 1−1 = y 1− 2 = 0z .

б) Прямые параллельны, значит, их направляющие векторы коллинеарны, и можно считать, что направляющий вектор искомой прямой

l ={1;−1;3}.

Получаем канонические уравнения прямой x 1−1 = y−−12 = z −3 0 .

Задача 15.2

x − y +2z = 0

Записать канонические уравнения прямой 2x − z −4 = 0 .

Решение

Прямая представлена как линия пересечения двух плоскостей. Её направляющий вектор параллелен каждой из этих плоскостей, следовательно, он перпендикулярен их нормальным векторам и может быть найден как их векторное произведение

Осталось найти координаты какой-нибудь точки, через которую проходит эта прямая. Положим вместо любой из координат произвольное число, например, z = 0 . Тогда уравнения прямой превратятся в систему линейных уравнений относительно x и y

x − y = 02x = 4 ,

x = 2, y = 2 .

То есть прямая проходит через точку M0 (2; 2;0), и её канонические уравнения выглядят так:

52

б) Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.

в) Найти уравнение плоскости, параллельной этим прямым и проходящей через точку M (2;1;−3).

Решение задачи

а) Возьмём произвольную точку A на первой прямой и произ-

→

вольную точку B на второй прямой. Если векторы l1 , l2 и AB компланарны, то прямые лежат в одной плоскости, а, если в дополнение к этому l1 и l2 не коллинеарны, то прямые пересека-

ются. Здесь l1 и l2 — направляющие векторы прямых. Их координаты:

l1 ={2;1;4}, l2 ={3;−2;1}.

Точки A(1;7;5) и B(6;−1;0) получаются непосредственно из

уравнений прямых.

→

Вычислим координаты вектора AB :

→

AB = {5; −8; −5}.

→

Проверим компланарность векторов l1 , l2 и AB .

53

следовательно, векторы компланарны. При этом векторы l1 и l2

не являются коллинеарными (их координаты не пропорциональны). Таким образом, прямые пересекаются.

б). Возьмём произвольную точку на одной из прямых. Пусть это точка B(6;−1;0).

Для нахождения уравнения плоскости осталось найти вектор её нормали. Он перпендикулярен обеим прямым, то есть колли-

Уравнение плоскости

9(x −6)+10(y −(−1))−7(z −0)= 0

или

9x +10 y − 7z − 44 = 0 .

в) Нормальный вектор искомой плоскости коллинеарен найденному в предыдущем пункте (так как плоскость, проходящая через две прямые и параллельная этим прямым — параллельны). Получаем уравнение плоскости

9(x −2)+10(y −1)−7(z −(−3))= 0

или

9x +10 y −7z −49 = 0 .

Задача 16.2

54