Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

.pdf

Скачиваний:

1517

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4629 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

281

12.22.

+ y 2

+ z 2

=16, x2 + y 2

= 4 (x2

+ y 2 ≤ 4) ,

ρ =

12.23.

+ y 2

= 4,

x2 + y 2

= 4z,

x = 0,

y = 0,

z = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0 ),

ρ = 5y .

(x ≥ 0 ,

y ≥ 0) ,

12.24.

+ y 2

= z 2 ,

+ y 2 = z,

x = 0,

y = 0

ρ = 35 yz .

12.25.

+ y 2

+ z 2 =1,

+ y 2 = z 2 , x = 0, y = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0),

ρ = 32z .

12.26.

+ y 2

= z 2 ,

+ y 2 = 4,

x = 0,

y = 0,

z = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0),

ρ =

(x2 + y2 ) .

12.27. x 2

(x 2

+ y 2 ≤ 4 , z ≥ 0) ,

+ y 2

+ z 2 = 9,

x 2 + y 2 = 4, z = 0

ρ = 2z .

12.28.

+ y 2

=1,

x2 + y 2

= 3z,

x = 0,

y = 0,

z = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0),

ρ =15x .

12.29.

+ y 2

z 2 ,

+ y 2 =

x = 0,

y = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0),

ρ = 20xz .

12.30.

+ y 2

+ z 2

=16, x2 + y 2

= 9z 2 ,

x = 0, y = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0),

ρ = 5z .

Задача 13. Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого заданими поверхнями.


13.1.	x2 + y 2 = 2z,		x2 + y 2			= z 2 .
13.2.	x + y =1,	z = x2		+ y 2 ,		x = 0,	y = 0,	z = 0 .
13.3.	z 2 = xy,	x = 5 ,		y = 5,		z = 0 .
13.4.	2x + 3y −12 = 0,			x = 0,		y = 0,	z = 0,	z =	y 2	.

13.5.	y = 4 − x2 − z 2 ,			y = 0 .				2

13.6.	y = 3 − x2	− z 2 ,		y = 2 .
13.7.	x = 0 , y =1,		y = 3,		z = 0 , x + 2z = 3 .
13.8.	3(x2 + y 2 ) = 2z,			9(x2	+ y 2 ) = z 2 .

282

13.9.

z 2 = xy, x = 3,

y = 3,

z = 0 .

13.10.

3x + 2 y −12 = 0,

x = 0, y = 0,

z = 0,

z = y 2 .

13.11.

y 2 + z 2 = 2x,

y 2

+ z 2

= x2 .

13.12.

y + z =1,

x = y 2

+ z 2 ,

x = 0,

y = 0,

z = 0 .

13.13.

x2 = yz,

x = 0,

y = 5,

z = 5 .

13.14.

3y + 2z =12,

x = 0,

y = 0,

z = 0,

x =

y 2

13.15.

x = 4 − y 2 − z 2 ,

x = 0 .

13.16.

z = 3 − x 2

− y 2 ,

z = 2 .

13.17.

x = 0, y =1,

y = 3,

z = 0, 2x + z = 3 .

13.18.

3( y 2 + z 2 ) = 2x,

9( y 2

+ z 2 ) = x2 .

13.19.

x2 = yz,

x = 0, y = 3,

z = 3 .

13.20.

2 y + 3z −12 = 0,

x = 0, y = 0,

z = 0,

x = y 2 .

13.21.

x2 + z 2 = 2 y,

+ z 2

= y 2 .

13.22.

x + z =1,

y = x2 + z 2 ,

x = 0,

y = 0,

z = 0 .

13.23y2 = xz, x = 5, y = 0, z = 5.


13.24.	2x + 3z =12, x = 0, y = 0,					z = 0,	y =	x2	.

13.25.	z = 4 − x2		− y 2 ,	z = 0 .			2

13.26.	x =3 − y 2		− z 2 ,	x = 2 (x ≥ 2) .
13.27.	x = 0,	y = 0, z =1, z = 3,				x + 2 y = 3 .
13.28.	3(x2	+ z 2 ) = 2 y,		9(x2	+ z 2 ) = y 2 .
13.29.	y 2 = xz, x = 3, y = 0,				z = 3 .
13.30.	3x + 2z =12, x = 3, y = 0,					z = 0,	y = z 2 .

Задача 14. Знайти момент інерції однорідного прямого кругового конуса з радіусом основи R і висотою H відносно його осі ( прийняти ρ =1 ).

14.1.	R = 7 , H = 7 .	14.2.	R = 6 , H = 7 .
14.3.	R = 6 , H = 6 .	14.4.	R = 5, H = 6 .
14.5.	R = 5 , H = 5 .	14.6.	R = 4 , H = 7 .

283

14.7.	R = 4 , H = 6 .		14.8. R = 4 , H = 5 .
14.9.	R = 4 , H = 4 .		14.10.	R = 3, H = 7 .
14.11.	R = 3, H = 6 .		14.12.	R = 3, H = 5 .
14.13.	R = 3, H = 4 .		14.14.	R = 3, H = 3 .
14.15.	R = 2 , H = 8 .		14.16.	R = 2 , H = 7 .
14.17.	R = 2	, H = 6 .	14.18.	R = 2 , H = 5 .
14.19.	R = 2	, H = 4 .	14.20.	R = 2 , H = 3 .
14.21.	R = 2	, H = 2 .	14.22.	R =1, H = 8 .
14.23.	R =1, H = 7 .		14.24.	R =1, H = 6 .
14.25.	R =1, H = 5 .		14.26.	R =1, H = 4 .
14.27.	R =1, H = 3 .		14. 28.	R = 5, H = 2 .
14.29.	R = 7	, H =1 .	14.30.	R = 5, H = 7 .

Задача 15. Обчислити криволінійні інтеграли.

15.1. а) ∫(2z −

+ y 2 )dl , де L – дуга кривої

x = t cos t ,

y = t sin t ,

z = t , 0 ≤ t ≤ 2π ;

б) ∫(x2

− 2xy)dx + (y2

− 2xy)dy ,

де L – дуга

від точки A(−1; 1) до точки B(1; 1) .

параболи y = x2

15.2. а) ∫

(x2

+ y2 )dl ,

де L – коло x2 + y2 = 4 ;

б) ∫

x2 dy − y2 dx

, де L – дуга астроїди x = 2 cos

t ,

y = 2 sin 3 t

від точки A(2; 0)

до точки B(2; 0) .

15.3. а) ∫

, де L – відрізок прямої, що з'єднує

8 − x

− y

точки O(0; 0) і A(2; 2) ;

б) ∫(x2

+ y2 )dx + 2xy dy , де L – дуга кубічної

від точки O(0; 0) до точки A(1; 1) .

параболи

y = x3

284

15.4. а) ∫(43 x −3

y )dl , де L – відрізок прямої, що

з’єднує точки A(−1; 0) і B(0; 1) ;

б) ∫(x + 2 y)dx + (x − y)dy , де L –коло x = 2 cos t ,

y = 2 sin t

при додатному напрямі обходу .

15.5. а)

∫

, L – відрізок прямої, що з'єднує

5(x − y)

точки A(0; 4) і B(4; 0) ;

б)

∫(x2 y − x)dx + ( y2 x − 2 y)dy ,

де L – дуга еліпса

x = 3cos t , y = 2 sin t

при додатному напрямі обходу.

15.6. а)

∫

, де L – відрізок прямої, що з’єднує

x + y + 5

точки A(0; − 2) і B(1; 0) ;

б) ∫(xy −1)dx + x2 ydy ,

де L – дуга еліпса

від точки A(1; 0) до точки B(0; 2) .

x = cos t, y = 2 sin t

15.7. а)

∫ydl ,

де L – дуга астроїди

x = cos3 t, y = sin 3 t ,

що з’єднує точки A(1; 0) і B(0; 1) ;

б)

∫

2xydx − x2 dy ,

де L – ламана ОВА : O(0; 0),

B(2; 0), A(2; 1) .

15.8. а)

∫ydl ,

де L – дуга параболи y 2 =

x між точками

O(0; 0) і

35 ;

;

б)

∫(x2 − y2 )dx + xydy ,

де L – відрізок прямої, що

з’єднує точки A(1; 1) і B(3; 4) .

										285
15.9. а) ∫(x2		+ y2			+ z 2 )dl ,				де L – дуга кривої
L
x = cos t , y = sin t ,									z =	3 t , 0 ≤ t ≤ 2π ;
б) ∫cos y dx −sin x dy ,										де L – відрізок прямої, що
L
з’єднує точки A(2π ; − 2π) і B(− 2π ; 2π) .
15.10. а) ∫xdl				,	де L – відрізок прямої, що з’єднує точки
L
O(0; 0) і A(1; 2) ;
б) ∫	ydx + xdy							, де L – відрізок прямої, що з’єднує
б) ∫		x	2	+ y		2		, де L – відрізок прямої, що з’єднує
L		x		+ y			і B(3; 6) .
точки A(1; 2)							і B(3; 6) .
15.11. а) ∫		2 y dl				, де L – перша арка циклоїди

x = 2(t −sin t), y = 2(1 − cos t) ;

б) ∫xydx + (y − x)dy , де L – дуга кубічної параболи

y = x3 від точки O(0; 0) до точки A(1; 1) .

15.12. а)	∫		2		dl 2	, де L – відрізок прямої, що
	L	x		+ y		+ 4
з’єднує точкиO(0; 0) і A(1; 2) ;
б)	∫(x2 + y2 )dx + (x + y2 )dy , де L – ламана АВС :
	L
A(1; 2), B(3; 2), C(3, 5) .
15.13. а)	∫	dl			,	де L – відрізок прямої, що з’єднує
15.13. а)	∫	x − y			,	де L – відрізок прямої, що з’єднує
	L	x − y
точки A(0; − 2) і B(4; 0) ;
б)	∫xy2 dx + yz 2 dy − x2 z dz , де L – відрізок прямої,
	L
з’єднує точкиO(0; 0; 0) і A(− 2; 4; 5) .
15.14. а)	∫xydl , де L – контур прямокутника з

286

вершинами O(0; 0), A(4; 0), B(4; 2), C(0; 2) ;

б) ∫ydx + xdy , де L – дуга АВ кола

x= R cos t , y = R sin t , A(R; 0), B(0; R) .

15.15.а) ∫(x + y)dl , де L – контур трикутника з

B(0; 1), O(0; 0) ;

вершинами A(1; 0),

б)

∫xydx + (y − x)dy ,

де L – дуга параболи y2 = x

від точки O(0; 0) до точки A(1; 1) .

15.16. а)

∫

z 2 dl

де L – перший виток гвинтової лінії

L x

+ y

x = 2 cos t ,

y = 2 sin t ,

z = 2t

;

б)

∫xdx + ydy + (x − y +1)dz ,

де L – відрізок прямої,

що з’єднує точки A(1; 1; 1) і B(2; 3; 4) .

15.17. а)

∫(x + y)dl ,

де L – контур трикутника з

A(−1; 0), B(0; 1) ;

вершинами O(0; 0),

б) ∫(xy −1)dx + x2 y dy ,

де L – дуга параболи

= 4 − 4x від точки A(1; 0) до точки B(0; 2) .

15.18. а)

∫

де L – дуга кривої x = 4 cos t ,

L x

+ y

+ z

≤ t ≤ π ;

y = 4 sin t ,

z = 3t , 0

∫xydx + (y − x)dy ,

б)

де L – дуга параболи y = x2

від точки O(0; 0) до точки A(1; 1) .

15.19. а)

∫

+ y2 dl ,

де L – коло x = 2 cos t , y = 2 sin t ;

								287
б)	∫(xy − y2 )dx + xdy ,						де L – дуга параболи y = x2
	L
від точки O(0; 0) до точки A(1; 1) .
15.20. а)	∫xy dl ,			де L – контур прямокутника з
	L
вершинами O(0; 0), A(5; 0), B(5; 3), C(0; 3) ;
б) ∫xdy − ydx ,						де L – дуга астроїди x = 2 cos3 t ,
	L			від точки A(2; 0) до точки B(0; 2) .
y = 2 sin 3 t
15.21. a)	∫(x2 + y2 )dl ,					де L – коло x = cos t , y = sin t ;
	L				1
б)	∫(xy − x)dx +					x2 dy ,		де L – дуга параболи

	L			2
y2 = 4x від точки O(0; 0) до точки A(1; 2) .
15.22. а) ∫(43 x −33 y )dl , де L – дуга астроїди
	L			y = sin 3 t від точки A(1; 0)до точки B(0; 1) ;
x = cos3 t ,
б)	∫(xy −1)dx + x2 ydy ,						де L – відрізок прямої, що
	L
з’єднує точки A(1; 0) і B(0; 2) .
15.23. a) ∫xydl ,				де L – контур квадрата зі сторонами
	L
x =1, x = −1, y =1, y = −1 ;
б) ∫2xy dx + y2 dy + z 2 dz ,								де L – дуга одного витка
	L
гвинтової лінії x = cos t ,								y = sin t , z = t , 0 ≤ t ≤ 2π .
15.24. а)	∫y2 dl ,			де L – перша арка циклоїди
	L
x = t −sin t , y =1 − cos t							;
б)	∫	y	dx + xdy ,			де L – дуга дуга лінії y = ln x від

L x

точки A(1; 0) до точки B(e; 1) .

288

15.25. a) ∫xydl ,

де L – контур прямокутника з вершинами

A(2; 0), B(4; 0), C(4; 3), D(2; 3) ;

б) ∫ydx − xdy ,

де L – еліпс x = 3cos t ,

y = 2 sin t ,

який пробігається в додатному напрямі.

15.26.

а) ∫ydl ,

де L – дуга параболи y2 = 2x ,

яка

відтинається параболою x2 = 2 y ;

б) ∫2xydx + x2 dy ,

де L – дуга параболи y =

від точки O(0; 0) до точки A(2; 1) .

15.27.

а) ∫

де L – відрізок прямої, що з’єднує

L x − y

і B(6; 1) ;

точки A(4; 0)

б) ∫(x2 + y2 )dx + (x2

− y2 )dy , де L – ламана лінія

від точки A(−1; 1 ) до точки B(2; 2) .

y=|x|

15.28.

а) ∫(x2 + y 2 )2 dl , де L – перша чверть кола

x = 2 cos t ,

y = 2 sin t

;

б) ∫2xydx − x2 dy + zdz , де L – відрізок прямої, що

з’єднує точки O(0; 0; 0) і A(2; 1; −1 ) .

15.29.

а) ∫

2 ,

де L – відрізок прямої, що

+ y

+ z

з’єднує точки

A(1; 1; 1) і B(2; 2; 2) ;

б) ∫xdy − ydx ,

де L – контур трикутника з

вершинами A(−1; 0), B(1; 0) , C(0; 1)

при додатному напрямі обходу.

						289
15.30.	а) ∫(xy + x2 )dl , де L – відрізок прямої, що з’єднує
	L			B(3; 3) ;
	точки A(1; 1) і			B(3; 3) ;
	б) ∫(x2	+ y)dx + (x + y2 )dy , де L – ламана АВС:
	L
	A(2; 0), B(5; 0), C(5; 3).
Задача 16. Знайти центр мас однорідної кривої.
16.1.	2x + y −2 = 0,		x ≥ 0,		y ≥ 0.
16.2.	x = 1 y2 −	1 ln y,		1 ≤ y ≤ 2.
16.3.	4	2
16.3.	y2 = 2x,	0 ≤ x ≤ 2.
16.4.	y = chx,	−2 ≤ x ≤ 2.
16.5.	x = cos3 t,	y = sin3 t			0 ≤ t ≤ π .
16.6.						2
16.6.	x = t −sin t,		y =1−cos t,			0 ≤ t ≤ 2π .
16.7.	r = cosϕ,	0 ≤ϕ ≤ π .
16.8.	r = eϕ ,			2
16.8.	r = eϕ ,	0 ≤ϕ ≤ 2π.
16.9.	r2 = cos 2ϕ,		−	π ≤ϕ ≤		π .
16.10.	r =ϕ,			4		4
16.10.	r =ϕ,	0 ≤ϕ ≤π.
16.11.	x +2 y −2 = 0,			x ≥ 0,		y ≥ 0.
16.12.	y = 1 x2	− 1 ln x,		1 ≤ x ≤ 2.
16.13.	4	2
16.13.	x2 = 2 y,	0 ≤ y ≤ 2.
16.14.	y = shx,	−1 ≤ x ≤1.

16.15.	x = 2 cos3 t,	y = 2sin3 t 0 ≤ t ≤	π .
16.16.			3
16.16.	x = 2t −2sin t,	y = 2 −2 cos t 0 ≤ t ≤π .
16.17.	r = 2sinϕ,	0 ≤ϕ ≤ π .
16.18.		2
16.18.	r = 2eϕ , 0 ≤ϕ ≤π.

290

16.19.	r2 = 4 cos 2ϕ,				0 ≤ϕ ≤			π .
						π .		4
16.20.	r = 3ϕ,			0 ≤ϕ ≤		π .
16.21.						2
16.21.	3x +2 y −3 = 0,				x ≥ 0,			y ≥ 0.
16.22.	y = 1 ln x −			1 x2 ,	1 ≤ x ≤ 2.
	2	x		4
16.23.	y = 3ch	x	,	−3 ≤ x ≤ 3.
16.23.	y = 3ch		,	−3 ≤ x ≤ 3.
	3								π .
16.24.	x = 3cos3 t,			y = 3sin3 t				0 ≤ t ≤	π .
									4	π .
16.25.	x = 3(t −sin t),				y = 3(1−cos t)				0 ≤ t ≤	π .
							π .			2
16.26.	r = 2 cosϕ,			0 ≤ϕ ≤			π .
16.27.	r = 3eϕ ,			0 ≤ϕ ≤π.			4
16.27.	r = 3eϕ ,			0 ≤ϕ ≤π.
16.28.	r2 = 9 cos 2ϕ,				−	π	≤ϕ ≤ 0.
						4
16.29.	r = 5ϕ,			0 ≤ϕ ≤		π .
16.30.	r =1+cosϕ,					4
16.30.	r =1+cosϕ,				0 ≤ϕ ≤π.

Задача 17. Знайти роботу сили F при переміщенні точки прикладання вздовж лінії L від точки М до точки N.

17.1. F = (x2 −2 y)i +( y2 −2x) j ,

L– відрізок прямої, M (− 4; 0), N(0; 2).

17.2.F = (x2 +2 y)i +( y2 + 2x) j ,

L – відрізок прямої, M (− 4; 0), N(0; 2) .

17.3.

= (x2 +2 y)

+( y2 + 2x)

L : y = 2 −

, M (− 4; 0), N(0; 2) .

17.4.

= (x + y)

+ 2xj

L: x2 + y2 = 4 (y ≥ 0), M (2; 0), N(− 2; 0) .

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4629 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.02.20162 Мб39граві-магніто розв.посібник.doc
#
01.05.2025609 Кб1Графи.doc
#
01.07.2025609 Кб0графіки.doc
#
01.04.202550 Кб0Гроші та кредит.docx
#
14.11.20181 Мб25грунтознавство (Дутчин М.М.) 310111.doc
#
17.02.20162 Мб1517Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",.pdf
#
13.11.2019446 Кб40движок_60.doc
#
12.08.2019166 Кб1Дейдей.doc
#
12.11.2019104 Кб1Декларація про валютні цінності, доходи та майн...doc
#
14.09.2019745 Кб4Державний екзамен з англійської мови 2011-2012...doc
#
22.04.201951 Кб1джерела живлення бомба.docx