Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

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Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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в)

2.11.а)

в)

2.12.а)

в)

2.13.а)

в)

2.14. а)

в)

2.15.а)

в)

2.16.а)

в)

∞

∑

;

(4n + 3)ln(3n + 5)

г) ∑ln

n=1

∞

n π

∑

;

б)

∑ n

;

n=1

(n + 2)!

n=1

∞

n +1

∞

6 +n

∑

;

г) ∑

ln(n +

n=1

n=1 36 + n 2

∞

3π

∞

+5 n2

∑n sin

;

б) ∑

;

n +3

n=1

∞

;

в)

∑

5 (3 +7n)2

∑n=2 (n3 +1)ln n

n=1

∞

52n

∞

3n −1 n2

∑

;

б)

∑

;

(2n −1)!

n=1

∞

;

г)

∑

∑n=2 (n + 2)ln 2

5 (6n −1)4

n=1

∞

∑

;

б) ∑n2 sin n

;

n=1

∞

∑

;

г) ∑

(2n +3)ln(n +3)

(2n −1)(2n +1)

n=1

∞

n + 2 2n

∑

;

б) ∑

;

(n!)

n=1

∞

2 +

sin

∑

;

г) ∑

(n +1)(5 + ln n)

n=1

∞

arctg n

∞

∑

;

б)

∑

;

n=1

4n +1

∞

∑

;

г) ∑ 1

− cos

(n +1)ln

(2n +1)

n=1

231

232

2.17.а)

в)

2.18.а)

в)

2.19.а)

в)

2.20.а)

в)

2.21.а)

в)

2.22.а)

в)

2.23.а)

∞

∑

;

б) ∑2n+1 e−n ;

(n +1)!

n=1

∞

∑

;

г) ∑

(3n + 4) ln(5n +

n=1

∞

9n −1 n2

∑ n! sin

;

б) ∑

;

n=1

∞

+ cos n

∑

;

г)

∑

(2n +1)ln

(2n +

+ sin n

n=1

∞

1 n

∑

;

б) ∑n

arcsin

;

(2n +5)!

n=1

∞

∑

;

г) ∑

n(1 + ln n)

n(n +1)(n +

n=1

∞

(n +1)n

∞

∑

;

б) ∑ n

;

n=1

9n −

∞

∑

;

г)

∑

(3 + n)

n=1

(3 + 2n)ln

n=1

∞

∑

;

б) ∑

;

n=1

n=1 (ln(n +1))

∞

;

г)

∑

∑n=1 (2n −1)ln(2n +1)

n=1 4 (3 + 5n)3

∞

(4n −1)sin

∞

∑

;

б) ∑

;

(2n +1)

n=1

∞

+ 3

∑

;

г)

∑

(5n +

n=1

(9n − 4)ln

n=1

+ cos 2

∞

(n +3)

∞

∑

;

б) ∑ 22n−1 e−n ;

n=1

233

∞

2 + n

в)

∑n=1

;

г) ∑

(2n +1)ln 2

(n 5 + 2)

n=1

4 + n2 − 2n

∞

−1

∞

+1 2n

2.24. а)

∑

;

б)

∑ n

;

n3n

−

n=1

в)

∞

;

г)

∞

sin 1 .

∑

(2n +

ln(3n −1)

n 1

∞

5n (n2 +1)

∞

3n n−1

2.25. а)

∑

;

б)

∑

;

n=1

2n +3

∞

+ 7n

в) ∑

;

г) ∑

(3n

+1)ln(n +1)

n=1

+ 2n

∞

1 5 9 ... (4n −3)

∞

2.26. а) ∑

;

б) ∑

;

n=1

1 4 7 ... (3n − 2)

n=1

(2n −1)!

∞

в)

∑

;

г)

∑

(n + 3)ln

(2n +1)

n=1

(3n −1)3

2.27.а)

в)

2.28.а)

в)

2.29.а)

∞

∑

;

б) ∑

;

(n +

2)!

(ln(n +1))

n=1

∞

∑

;

г) ∑ln

(2 +5n)ln

(3 + 4n)

+ 2

n=1

∞

(4n −3)!

∞

n+1

∑

;

б) ∑

+ 2

n=1

∞

;

∞

n +1 .

∑

г) ∑sin

n=4

(2n +1) ln(n − 2)

n=1

n4 + 2

∞

3n (5n +

∞

−1 n

∑

;

б) ∑

arccos

;

(2n −1)

n=1

2n +1

∞			∞
	e n			12 .
в) ∑		;	г) ∑3 n arctg
	2
n=1	n		n=1	n

234

∞

2.30. а) ∑

n=1

∞

в) ∑

n=1

3n +1 ;

∞

n+2

б) ∑

;

(2n2 +1)

3 n4n

n=1

∞

;

г) ∑

(3n

+1) ln(2n)

−ln n

n=1 n

Задача 3. Дослідити на збіжність знакозмінні ряди. У випадку збіжності вказати збігається ряд абсолютно чи умовно.

∞

(−

3.1. а)

∑

1 − cos

n=1

∞

(−1)n

3n +1

3.2. а)

∑

;

n(n + 2)

n=1

∞

(−

n+1

3.3. а)

∑

;

3n +1

n=1

(−

∞

3.4. а) ∑

;

ln n

n=2

∞

(−1)

;

3.5. а) ∑

n=1

3n +1

∞

(−

3.6. а) ∑

;

n ln(ln n) ln n

n=3

∞

(−1)n 2n

3.7. а)

∑

;

− n

n=1

∞

(−1)

3.8. а) ∑

;

(n + 2)ln(n + 2)

n=1

∞

(−1)

n+1

3.9. а) ∑

;

n=1

n +1

(−1)n sin

∞

;

3.10. а) ∑

n=1

2n +1

∞

sin 2

;

б) ∑

n=1

∞

б) ∑(−1)n−1 arctg

2n +1

ò =1

(−1)

б) ∑

∞

n−1

n=1

2n −1

n(n +1)

∞

(−1)

n−1

б) ∑

n=1

∞

n+1

б)

∑arctg(−1)

n=1

n + 2

∞

(−1)n−1

б) ∑

(2n +1)!

n=1

∞

(−1)n−1 arcsin

n +1

б) ∑

n=1

2n +3

∞

(n2 +1)cos n

б) ∑

n=1

∞

б) ∑(−1)n ln

2n +1

n=1

∞

(−1)

n +

1 n −1

б) ∑

n =1

3.11.а)

3.12.а)

3.13.а)

3.14.а)

3.15.а)

3.16.а)

3.17.а)

3.18.а)

3.19.а)

3.20.а)

3.21.а)

3.22.а)

3.23.а)

∑

(−1)

−1

;

∞

n=1

n n

∑ (−1)n sin π ;

∞

n=1

∑ (−1)n n +n 3 ;

∞

n=1

∞

(−1)n

sin n

∑

;

n=1

(−1)

;

∑

∞

n=1

n ln(2n)

∞

(−1)n

∑

;

3n +1

n=1

∞

(−1)n tg

∑

;

n=1

(−1)

;

∑

∞

n=1

3n −1

∞

cosπn

∑

;

n=1

;

∑

(−1)

∞

n=1

(3n −1) 2

∞

(−1)n−1 (n +

∑

;

n=1

;

∑

(−1)

∞

n=1

3 2n + ln n

∑

(−1)

−1

;

∞

n=1

235

∞

2n −1

б) ∑(−1)

3 + 5 2

n+1

n=1

∞

sin n

б) ∑

n=1

+ 5

∞

n+1

б) ∑(−1)

n=1

б) ∑(−1)n−1

n +1 .

∞

n=1

n(3n + 2)

∞

б) ∑ cos n .

n=1 n

n +

∞

б) ∑(−1)n+1

n=1

∞

n−1

б) ∑(−1)

n=1

2n +1

∞

n+1

3n −

1 n−2

б) ∑(−

n=1

1)n+1

5n +

б) ∑(−

n +1 .

∞

n=1

4n + 5

б) ∑(−1)n−1 ln(n +1) .

∞

n=1

n +1

б) ∑(−1)n

n +1 .

∞

n=1

+ 5

∞

32 .

б) ∑(−1)n+1

n=1

∞

(−1)n

б) ∑

(n +

n=1

236

3.24. а)

3.25. а)

3.26. а)

3.27. а)

3.28. а)

∑	(−1)			n	−1		n ;
∞				n	−1
n=1						3
	(n + 2)
	(n + 2)
						2
∑ (−1)n 2n −1 ;
∞
n=1	(−1)		10n
∑	(−1)	n	(n +1) ;
∞		n
n=1	n ln(n + 2)
∑ (−1)n			n +1 ;
∞
n=1	(−1)				n3
∑	(−1)		n		;
∞			n
n=1	5n −1

∞

2n +1 n

б) ∑(−1)

2n +3

n=1

∞

(−1)n−1

б) ∑

n=1

∞

(−1)

n+1 3n + 4n

б) ∑

n=1

∞

n−1

2n2

б) ∑(−1)

n=1

∞

(−1)

n+1

б) ∑

n=1 n

+ cos 2

∞

(−1)n n2

∞

(−1)

n−1

πn

3.29. а)

∑

;

б)

∑

sin

(3n +1) 2

3n+1

6n +1

n=1

∞

(−1)n

;

∞

3.30. а) ∑

б) ∑(−1)n+1 tg

n=1

n n

n=1

n2 +1

Задача 4. Довести справедливість рівності.

4.1.

lim

= 0 .

4.2.

lim

(2n)!!

= 0 .

n→∞ nn

n→∞

4.3.

lim

(2n)!

= 0 .

4.4.

lim

= 0 .

(n2 )!

(2n)!

n→∞

4.5.

lim

(2n)n

= 0 .

4.6.

lim

= 0 .

(2n −

1)!

(n!)2

n→∞

4.7.

lim

(2n)!!

= 0 .

4.8.

lim

= 0 .

n→∞

n→∞ n!

4.9.

lim

(n +1)!

= 0 .

4.10.

lim

= 0 .

(2n

1)!

n→∞

4.11.

lim (2n −1)!!

= 0 .

4.12. lim (3n2)!

= 0 .

n→∞

n→∞ 2n

4.13.	lim	(3n)n				= 0 .
		(2n −			1)!
	n→∞
4.15.	lim	n5			= 0 .
		(2n)!
	n→∞
4.17.	lim	(n + 2)! = 0 .
	n→∞		nn
4.19.	lim	(2n +1)!!				= 0 .

	n→∞		nn
4.21. lim (4n2)!					= 0 .
	n→∞	2n
4.23.		n3
	lim			= 0 .
		4n	2
	n→∞
4.25.	lim	(n +3)! = 0 .
	n→∞		nn
4.27.	lim	(2n +3)!! = 0 .
	n→∞		nn
4.29. lim (5n2)!					= 0 .
	n→∞	2n

237

4.14.

lim

= 0 .

(n!)3

n→∞

4.16.

lim

23n

= 0 .

n→∞

4.18.

lim

= 0 .

(2n −1)!

n→∞

4.20.

lim

(2n)n

= 0 .

(2n +1)!

n→∞

4.22.

lim

= 0 .

[(n +1)!]2

n→∞

4.24.

lim

= 0 .

n→∞ 2n

4.26.

lim

= 0 .

(2n +3)!

n→∞

4.28.

lim

(5n)n

= 0 .

(2n +1)!

n→∞

4.30.

lim

= 0 .

[(n + 2)!]2

n→∞

Задача 5. Знайти область збіжності функціонального ряду.

∞

−nx

∞

(−

1)n

1 − x n

5.1.

∑ ne

5.2. ∑

n=1

2n −1

1 + x

∞

5.3.

∑

5.4. ∑

n +

(x2 − 4x + 6)n .

n=1

n +1 (3x 2 + 4x + 2)

n=1

∞

+ 3

5.5.

∑

5.6. ∑

1 − x

n=1

n=1 n +1 (27x 2 +12x + 2)

∞

n2n

∞

1 1

+ x n

5.7.

∑

5.8.

∑

n=1

n +1 (3x 2 +8x + 6)

n=1

n + 3 1

− x

238

∞

5.11. ∑lg n x.

n=1

5.13.∑∞ (x2 −(5x +11))n .

n=1 5n n2 + 5

∞

2n + 3

5.15.

∑

(n +

n=1

∞

5.17. ∑

n=1

∞

5.19.

∑

n=1

(x −1)

∞

5.21.

∑n2 e−n2 x .

n=1

∞

(n + x)

5.23.

∑

n=1

5.25.

∑∞ (5 − x 2 )n .

n=1

∞

cos nx

5.27.

∑

n=1

5.29.

∑∞

(2 − x 2 )n .

n=1

∞

5.10.

∑

(x − 2)

n=1

∞

5.12.

∑

(25x

+1) .

+1)

n=1

∞

5.14.

∑

n=1

n + 2 (3x2 +10x +

∞

5.16.

∑

n=1

∞

5.18. ∑ ln n x.

n=1

5.20.∑∞ sinn nnx .n=1

5.22.

∞

(−1)

n+1

∑

n=1 n3n (x + 2)n

∞

5.24.

∑

n=1

∞

5.26.

∑

+ 2

n=1 n

5.28.

∑∞ (−1)n

x 2+n

n=1

∞

5.30.

∑

(x + 2)

n=1

Задача 6. Довести рівномірну збіжність функціонального ряду у вказаному проміжку.

∞	sin nx	, (− ∞; ∞ ).
6.1. ∑	sin nx	, (− ∞; ∞ ).
n=1	3 n4 + x4

239

∞

[0; 1] .

6.2.

∑

(−

3n −

n=1

6.3.

∞

cos

(−∞; ∞ ) .

∑

n=1

n(n +1)(n + 2)

∞

sin

6.4.

(0; ∞) .

∑

n=1

+ x

∞

(−1)

6.5.

∑

−

;

n=1

2n +1

∞

(−∞; ∞ ) .

6.6.

∑

+ cos

n=1

∞

[−1; 1] .

6.7.

∑

n=1

6.8.

∞

[−1; 1] .

∑

n=1

∞

[−10; 10] .

6.9.

∑

n=1

∞

n−1

6.10.

∑

(−1)

n=1

∞

6.11.

∑

n(n +1)

n=1

∞

sin

(−1)

n−1

6.12.

∑

n=1

[−1; 1] .

(−∞; ∞ ) .

∞

(−1)

n−1

6.13.

∑

ln 1

n=1

∞

6.14.

∑

sin

n +

n=1

1 ; 3 .3

(−∞; ∞ ) .

240

6.15.

∞

nx ,

(−∞; ∞ ) .

∑cos

n−1

∞

[1; ∞) .

6.16.

∑

+ ln x

n=1

∞

[− 2; 2] .

6.17.

∑

n=1 n 3n

∞

n(x +

[−5; −1] .

6.18.

∑

n=1

∞

+ 5)n

[−7 ; −3] .

6.19.

∑

n=1

∞

(0; ∞) .

6.20.

∑

n=1

n + x

∞

6.21. ∑

n=1

∞

6.22. ∑

n=1

∞

6.23. ∑

n=1

∞

6.24. ∑

n=1

3		n	,	[1; ∞) .
n3 + ln x
2−n (1+x ) ,				[0; ∞) .
xn			[−3; 3] .
	,
n!
n3		1	,	(−∞; ∞ ) .
		+sin 2 nx

	∞			n		xn		[0; 1] .
6.25. ∑ (−1)							,
6.25. ∑ (−1)					3n −5		,
	n=1				3n −5
	∞							[1; ∞) .
6.26.	∑ e−nx			,				[1; ∞) .
	n=1
	∞		cos	n x				(−∞; ∞ ) . .
6.27.	∑		cos	n x		,
6.27.	∑		2	+ 3		,
	n=1		2n	+ 3
	∞	(x −1n)			2n			[−1; 3] .
6.28.	∑	(x −1n)				,		[−1; 3] .
	n=1		n 9

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