Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

.pdf

Скачиваний:

1517

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4631 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

301

19.30.частини площини 2x + 3y + 6z = 6 , вирізаної координатними площинами.

Задача 20. Знайти потік векторного поля a через частину

площини (P), розташовану в першому октанті у напрямі век-

тора нормалі nr, який утворює гострий кут з віссю Oz.

20.1.

(P): x

+ y + z =1.

= xi

+ yj + zk ,

20.2.

(P): x + y + z =1.

= yj

+ zk ,

20.3.

ar = 2xir + yrj + zk ,

(P): x + y + z =1.

20.4.

(P): x + y + z =1.

= xi

+3yj + 2zk ,

20.5.

ar = 2xir +3yrj,

(P): x + y + z =1.

20.6.

ar = xir + yrj + zk ,

(P):

+ y + z =1.

20.7.

= xi

+ 2 yj + zk ,

(P): 2 + y + z =1.

ar = xir + yvj + zk ,

20.8.

(P): x +

=1.

ar = yrj +3zkr,

20.9.

(P):

+ y + z =1.

ar = 2xir + yrj + zk ,

20.10.

(P): x +

=1.

20.11. ar = 2xir +3yrj + zk ,

(P): 3

+ y +

=1.

20.12.

ar = 3xir+2zk ,

(P): x +

=1.

20.13. ar = xir+3yrj − zk ,

(P):

+ y +

=1.

20.14.

ar = −2xir + yrj + 4zk ,

(P):

+ y

2 =1.

20.15.

ar = xir− yrj +6zk ,

(P):

+ y +

=1.

302

20.16.

ar = 2xir +5 yj + 5zk ,

(P):

+ z =1.

20.17.

= xi

+ yj + zk , (P)

: 2x +

+ z =1.

ar = 2xir + yrj − 2zk ,

20.18.

(P): 2x +

+ z =1.

20.19.

(P): 2x +

= xi

+ yj + 2zk ,

+ z =1.

ar = −xir + yrj +12zk ,

20.20.

(P): 2x +

+ z =1.

20.21.

(P): x +

2 y +

= xi

3yj

+8zk ,

=1.

20.22.

(P): x + 2 y +

= xi

− yj + 6zk ,

=1.

20.23.

(P): x +

= xi

2 yj

+ 5zk ,

2 y +

=1.

20.24.

(P): x +

2 y +

= xi

4 yj

+ 5zk ,

=1.

20.25.

(P): 2x +3y + z =1.

= xi

+ yj + zk ,

20.26.

ar = 2xir

+ yrj + zk ,

(P): 2x +3y + z =1.

20.27.

ar = 2xir

+ 3yrj + zk ,

(P): 2x +3y + z =1.

20.28.

ar = 2xir

+ 3yrj + 4zk ,

(P): 2x +3y + z =1.

20.29.

+8zk ,

(P): x +2 y +3z =1.

= xi

9 yj

20.30.

ar = 8xir

+11yrj +17zk ,

(P): x +2 y +3z =1.

Задача 21. Задані векторне поле

і пло-

+Qj + Rk

щина Ax + By +Cz + D = 0 (P),

яка разом з координатними пло-

щинами утворює піраміду V . Нехай σ - основа піраміди, яка

належить площині

(P); L − контур, який обмежує σ;

nr −зов-

нішня нормаль до σ. Обчислити:

303

а) циркуляцію векторного поля a вздовж замкненого контура L , застосовуючи формулу Стокса до контуру L і обмеженої ним поверхні σ з нормаллю n ;

б) потік векторного поля a через повну поверхню піраміди V в напрямі зовнішньої нормалі до її поверхні, застосову-

ючи формулу Остроградського.

21.1. ar = 3xir + (y + z)j + (x − z)k , (P): x +3y + z = 3. 21.2. ar = (3x −1)ir + (y − x + z)j + 4zk , (P): 2x − y −2z = 2.

21.3.ar = xir + (x + z)j + (y + z)k , (P): 3x +3y + z = 3.

21.4.ar = (x + z)ir + (z − x)j + (x + 2 y + z)k , (P): x + y + z = 2.

21.5.ar = (y + 2z)ir + (x + 2z)j + (x − 2z)k ,

	(P): 2x + y + 2z = 2.
21.6.	ar = (x + z)ir + 2 yj + (x + y − z)k ,	(P): x + 2 y + z = 2.
21.7.	ar = (3x − y)ir + (2 y + z)j + (2z − x)k ,
	(P): 2x −3y + z = 6.
21.8.	ar = (2 y + z)ir + (z − y)j − 2zk ,	(P): x +3y + z = 3.
21.9.	ar = (x + y)ir + 3yj + (y − z)k , (P): 2x − y −2z = −2.
21.10.	ar = (x + y − z)i − 2 yj + (x + 2z)k , (P): x + 2 y + z = 2.
21.11.	ar = (y − z)ir + (2x + y)j + zk ,	(P): 2x + y + z = 2.

21.12. ar = xi + (y − 2z)j + (2x − y + 2z)k , (P): x + 2 y + 2z = 2.
21.13.	ar = (x + 2z)ir + (y −3z)j + zk , (P): 3x + 2 y + 2z = 6.
21.14.	ar = 4xir + (x − y − z)j + (3y + 2z)k , (P): 2x + y + z = 4.

21.15.ar = (2z − x)ir + (x + 2 y)j +3zk , (P): x + 4 y + 2z = 8.

21.16.ar = 4zir + (x − y − z)j + (3y + z)k , (P): x −2 y + 2z = 2.

21.17.ar = (x + y)ir + (y + z)j + (z + x)k , (P): 3x −2 y + 2z = 6.

21.18.ar = (x + y + z)i + 2zj + (y − 7z

21.19.ar = (2x − z)ir + (x + 2z)j + (x +

21.20.ar = (2 y − z)ir + (x + y)j + xk ,

)k , (P): 2x +3y + z = 6. 2z)k , (P): x − y + z = 2.

(P): x + 2 y + 2z = 4.

304

	21.21.	ar = (2z − x)ir + (x − y)j + (3x + z)k , (P): x + y + 2z = 2.
	21.22.	ar = (x + z)ir				+ (x + 3y)j + yk ,		(P): x + y + 2z = 2.
	21.23.	ar = (x + z)ir				+ zj + (2x − y)k ,	(P): 2x + 2 y + z = 4.
	21.24.	ar = (3x + y)ir + (x + z)j + yk ,						(P): x + 2 y + z = 2.
	21.25.	ar = (y + z)ir				+ (2x − z)j + (y + 3z)k ,
				(P): 2x + y +3z = 6.
	21.26.	ar = (y + z)ir				+ (x + 6 y)j + yk ,		(P): x + 2 y + 2z = 2.
	21.27.	ar = (2 y − z)ir + (x + 2 y)j + yk ,						(P): x +3y + 2z = 6.
	21.28.	ar = (y + z)ir				+ xj + (y − 2z)k ,	(P): 2x + 2 y + z = 2.
	21.29.	ar = (x + z)ir				+ zj + (2x − y)k ,		(P): 3x + 2 y + z = 6.
	21.30.	av = (2z − x)ir + (x + 2 y)j +3zk ,						(P): x + 4 y + 2z = 8.
r	Задача		r	22.		Перевірити, чи		є векторне поле
r	r		r	r	потенціальним і соленоїдним. У випадку по-
a	= Pi + Qj			+ Rk	потенціальним і соленоїдним. У випадку по-
тенціальності поля знайти його потенціал.
	22.1.	ar = (x2			− 2 yz)i + (y 2 − 2xz)j + (z 2 − 2xy)k .
	22.2.	ar = (x2			+ yz)i + (2xy + z)j + (x2			− y 2 )k .
	22.3.	ar = (yz − 2x)i + (xz + 2 y)j + xyk .
	22.4.	ar = yzir			+ xzrj + xyk .
	22.5.
	ar = (x2 − y 2 − 2xz)i + (y 2 − z 2 − 2xy)j + (z 2 − x2 − 2zy)kr.
	22.6.	ar = (x2			− y 2 )i + (y2 − z 2 )j + (z 2			− x2 )k .
	22.7.	ar = (2xz + y)i + (x − 2 yz)j + (x2						− y 2 )k .
	22.8.	ar = (9x +5 yz)i + (9 y +5xz)j + (9z +5xy)k .
	22.9.	ar = (6x + 7 yz)i + (− 6 y + 7xz)j + (6z + 7xy)k .
	22.10.		ar = (3x − yz)i + (3y − xz)j + (3z − xy)k .
	22.11.		ar = (8x −5 yz)i + (8 y −5xz)j + (8z −5xy)k .
	22.12.		ar = (x + 2 yz)i + (y + 2xz)j + (z + 2xy)k .

305

22.13.ar = (5x + 4 yz)i + (5 y + 4xz)j + (5z + 4xy)k .

22.14.ar = (10x −3yz)i + (10 y −3xz)j + (10z −3xy)k .

22.15.ar = (7x − 2 yz)i + (7 y − 2xz)j + (7z − 2xy)k .

22.16.ar = (12x + yz)i + (−12 y + xz)j + (4 + xy)k .

22.17.ar = (−3x − 2 yz)i + (3y − 2xz)j − 2xyk .

22.18.ar = (4x −7 yz)i + (4 y − 7xz)j + (4z − 7xy)k .

22.19.ar = 8 yzir + (3y +8xz)j + (−3z +8xy)k .

22.20.ar = (20x + yz)i + xzj + (− 20z + xy)k .

22.21.ar = (x2 −6 yz)i + (y 2 −6xz)j + (z 2 −6xy)k .

22.22.ar = (5x2 −6 yz)i − (5 y 2 + 6xz)j − 6xzk .

22.23.ar = (7x2 −3yz)i +3xzj + (− 7z + 3xz)k .

22.24.ar = x2 ir + y 2 j + z 2 k .

22.25.ar = (x + z)ir + (y + z)j + (x + y)k .

22.26.ar = 2xyir + (x2 + z 2 )j + 2 yzk .

22.27.ar = (x + y − 2)i + (x + y)j − 2zk .

22.28.ar = (x + y +5z)i + (x +3y + z)j + (5x + y)k .

22.29.ar = xir + y 2 j + z 2 k .

22.30.ar = 2 yzir + 2xzj + (2xy + z)k .

306

11 Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення

Теоретичні питання

1.Комплексні числа. Різні форми представлення комплексних чисел. Дії над комплексними числами в алгебраїчній, тригонометричній та показниковій формах.

2.Поняття функції комплексної змінної. Границя і неперервність функції комплексної змінної.

3.Похідна функції комплексної змінної. Правила диференціювання. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної.

4.Умови Коші-Рімана. Аналітичні функції. Гармонічні функції.

5.Функції zn ( n - ціле ), ez .

6.	Функції sin z , cos z ,	tgz , ctgz , shz , chz , thz ,	cthz .
7.	Деякі багатозначні функції комплексної змінної: Lnz ,
	Arcsin z , Arc cos z ,	Arctgz , Arcctgz , Arshz ,	Archz , Arthz ,

nz ( n - натуральне ).

8.Інтеграл від функції комплексної змінної: означення, властивості, обчислення.

9.Теорема Коші для простого і складного контура.

10.Інтегральна формула Коші.

11.Ряд Тейлора функції комплексної змінної. Розклад в ряд

за степенями z	функцій ez , sin z , cos z , shz , chz ,		1	.
		1	− z

12.Ряд Лорана функції комплексної змінної.

13.Ізольовані особливі точки функцій, їх класифікація.

14.Лишки функцій, їх обчислення. Основна теорема про лишки.

15.Застосування лишків до обчислення деяких невласних інтегралів і інтегралів від тригонометричних функцій дійсної змінної.

307

16.Перетворення Лапласа, його властивості. Зображення одиничної функції, функцій sin t , cost .

17.Теореми подібності і зміщення. Зображення функцій

sin at , cos at , e−αt , e−αt , e−αt sin at , e−αt cos at .

18.Диференціювання зображення. Зображення функцій tn , t sin at , t cos at , te−αt .

19.Диференціювання оригіналу. Застосування операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.

20.Теорема про згортку.

21.Інтеграл Дюамеля.

Розрахункові завдання

Задача 1. Знайти множину точок на площині комплексної змінної z , яка визначається заданими умовами. Зробити рисунок.

1.1. а)

0 ≤ Im z ≤1 ;

б)

=1 .

1.2. а)

2 ≤

z −i

< 4 ;

б)

z2 + z 2

=1.

1.3. а)

z +1

≤1;

б)

−3Im z = 6 .

1.4. а)

z −1

z −i

;

б)

z +1

1.5. а)

z −5

−

z +5

> 8 ;

б)

z −i

−

z +i

= 2 .

1.6. а) 4 ≤

z −1

z +1

≤ 8 ;

б)

z −1 + 2i

=1.

1.7. а) 1 < Re z ≤ 2 ;

б)

z −1

=1.

z + 2

1.8. а)

0 < Re(iz)<1;

б) Re

= 4 .

1.9. а) 1 − Re z <

;

б) Im

z −1

= 0

z +1

308

1.10. а)

π ≤ arg(z −i)<

;

б)

=1 .

1.11. а) Re(z + 2)≥

;

б)

z + i

z −i

= 4 .

1.12. а) Re z(1 −i)<

;

б)

z + 2i

= 2 .

1.13. а)

0 < arg(z + i)<

;

б)

1.14. а) Re

≤

;

б)

z − 2

1 − 2z

1.15. а) Im z 2

<1;

б)

z − 2

z + 2

= 5 .

1.16. а) Re z + Im z ≤ 2 ;

б)

Re(1 + z)=

1.17. а)

− Re z ≤ 0 ;

б) z2 + z 2

=1.

1.18. а)

z −1

≤1;

б)

= Re z +1.

z +1

б) 2zz + (2 + i)z + (2 −i)z = 2 .

1.19. а) Im

< −

;

1.20. а)

б) Re z2

Im z ≤ 4 ;

= 2 .

1.21. а)

0 < Re(z +1)<1 ;

б) Im z 2

= 4 .

1.22. а) Re z ≥ 2 ;

б) Im z2 = 2 .

1.23. а)

> 2 + Im z ;

б) Re z 2

=1.

1.24. а)

0 ≤ arg(z −1)≤

;

б) Re

z −1

= 0 .

z +1

1.25. а)

z2 + z 2 ≤ 4 ;

б)

Re z = Im z .

1.26. а) Re

≥ 4 ;

б)

z −1

= Re z .

1.27. а) Re z2

≥ 4 ;

б)

=1 + Im z .

1.28. а) 0 < Rei(z −1)<1 ;

б) Im

1.29. а) 1 ≤

z +1 +i

< 2 ;

б) Im

z −1

1.30. а)

z +1

z −1

;

б) 3

− Re z =12 .

309

Задача 2. Подати функцію w = f (z), де z = x +iy , у виді w = u(x, y)+iv(x, y) і, користуючись умовами Коші-Рімана,

перевірити, чи є вона аналітичною. Якщо так, то знайти значення її похідної в точці

2.1.

w = z3 +3z −i ,

=1 +i .

2.2.

w = eiz −1 ,

= π −i .

2.3.

w = (1 + 2z − z2 )i ,

z0 =1.

2.4.

w = z3 + z ,

z0 =

i .

2.5.

w = z2 − 2z ,

z0 = i .

2.6.

w = e1−2 z ,

z0 =

π i .

2.7.

w =

=1 +i .

= π .

2.8.

w = e1−2iz

1 + 3 i .

2.9.

w = z2 + z + 2 ,

2.10.

w = z2 + iz ,

=1 + i .

2.11.

w = (z −1)2 ,

= 2 +i .

2.12.

w = e−z 2

= i .

2.13.

w = 2z2 −iz ,

=1 −i .

2.14.

w = zez ,

= −1 +πi .

2.15.

w = (z + 2i)2 ,

=1 −i .

2.16.

w = i(1 − z2 )− 2z ,

z0 =1.

2.17.

w = z3 + 2z +1 ,

= −2 −i

2.18.

w = z2 + 3iz ,

z0 =

−i .

2.19.

w = z3 + 5iz +i ,

z0 =1 + i .

310

2.20.

w =

= 2i .

2.21.

w =

= 3i .

2.22.

w =

= −1 + i .

2.23.

w = eiz 2

z0 =

π i .

2.24.

w = e−iz ,

z0 = 0 .

2.25.

w = (iz)3 ,

= −1 +i .

2.26.

w = z3 − 2iz + 5 ,

z0 = i .

2.27.

w = ze−2 z ,

= πi .

2.28.

w = 2z2 +iz + 2 ,

z0 = 2 −i .

2.29.

w = z −e−z

= πi .

2.30.

w = i(z2 + 3z)− z

, z0 =1 −

i .

Задача 3. Відновити аналітичну в околі точки z0	функцію
f (z) за відомою дійсною u(x, y) або уявною v(x,	y) части-

ною і значенням f (z0 ).					f (1 +i)= 2 +i .
3.1.	u = −2xy + 2x + y +1 ,
3.2.	v = 4xy + x + y +3 ,			f (1 −i)= 4 −i .
3.3.	u = x2 − y2 − 2xy + x +3 ,					f (−1 +i)= 4 +i .
3.4.	v = e−y sin x + y ,		f (0)=1 .			f (−1 −i)= −5(1 +i).
3.5.	u = −x2 + y2 − 2xy + 2x −1 ,
3.6.	v = 2x2 − 2 y2 + x + y +1 ,					f (2 +i)= −8 +10i .
3.7.	1+2 y	cos2x ,		π		= −e	3	.
	u = e		f	2	+i

3.8.	u = x3 −3xy2 +3x ,			f (i)= 2i .

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4631 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.02.20162 Мб39граві-магніто розв.посібник.doc
#
01.05.2025609 Кб1Графи.doc
#
01.07.2025609 Кб0графіки.doc
#
01.04.202550 Кб0Гроші та кредит.docx
#
14.11.20181 Мб25грунтознавство (Дутчин М.М.) 310111.doc
#
17.02.20162 Мб1517Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",.pdf
#
13.11.2019446 Кб40движок_60.doc
#
12.08.2019166 Кб1Дейдей.doc
#
12.11.2019104 Кб1Декларація про валютні цінності, доходи та майн...doc
#
14.09.2019745 Кб4Державний екзамен з англійської мови 2011-2012...doc
#
22.04.201951 Кб1джерела живлення бомба.docx