9.ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
9.1.ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
Література: [1, розділ 10, п. 10.1-10.5]; [3, розділ 7, п. 7.1-7.2]; [4, розділ 4, глава 12, п. 12.1-12.6]; [6, глава 4, § 1]; [9, розділ 3, п. 3.1]; [12, розділ 3, п. 3.1]; [13, розділ 8, § 25]; [15, розділ 8, § 1-4]; [17, розділ 11, п. 11.1-11.3].
Індивідуальне завдання 9.1
Задача 1
Розв’язати диференціальне рівняння [17].
1.y - xy¢ = xsec( y / x).
3.(x + 2 y)dx - xdy = 0.
5.( y2 - 2xy)dx + x2dy = 0.
7.xy¢ - y = xtg( y
x).
9. xy¢ - y = (x + y) ln((x + y)
x).
11. |
( y + xy )dx = xdy. |
||||||
|
y = x( y¢ - x |
|
|
|
|||
13. |
e y |
). |
|
||||
15. |
¢ |
|
|
|
|
|
|
y x + x + y = 0. |
|||||||
17. |
xdy - ydx = |
|
x2 + y2 |
dx. |
|||
19. |
(x - y) ydx - x2 dy = 0. |
||||||
21. |
(x2 - 2xy) y¢ = xy - y2 . |
||||||
23. |
xy¢ + y(ln |
y |
-1) = 0. |
||||
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
25. |
( y2 - 2xy)dx - x2dy = 0. |
||||||
27. |
(2x - y)dx + (x + y)dy = 0. |
||||||
29. |
x2 y¢ = y(x + y). |
||||||
2. ( y2 - 3 x2)dy + 2xydx = 0.
4.(x - y)dx + (x + y)dy = 0.
6.y 2 + x2 y¢ = xyy¢.
8. xy¢ = y - x ey
x.
10. xy¢ = y cos ln( y
x). 12. xy¢ = 
x2 - y 2 + y. 14. y¢ = y
x -1.
16. (x - y) y¢ = x + y. 18. (x - 2 y) y¢ = 2x - y.
20.xy + y2 = (2x2 + xy) y¢.
22.(2
xy - y)dx + xdy = 0.
24. |
(x2 + y2 )dx + 2xydy = 0. |
||||
26. |
(x + 2 y)dx + xdy = 0. |
||||
28. |
2x3 y¢ = y(2x2 - y 2 ). |
||||
30. |
y¢ = |
x |
+ |
y |
. |
|
|
||||
|
|
y x |
|||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
73
Задача 2
Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову [17].
1. |
y¢ + y tg x = sec x, |
y(0) = 0. |
2. |
(x2 +1) y¢ + 4xy = 3, |
|
|
y(0) = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
xy¢ - 2 y = 2x4 , |
|
y(1) = 0. |
4. |
(1 - x)( y¢ + y) = e-x , |
|
|
y(0) = 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
y¢ = 2x(x2 + y), |
|
y(0) = 0. |
6. |
xy¢ + y + xe- x 2 |
= 0, |
|
|
|
y(1) =1/(2e). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
y¢ - y = e |
x |
, |
|
|
y(0) =1. |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
y(0) = |
p |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos y = (x + 2cos y)sin yy , |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
x2 y¢ + xy +1 = 0, |
y(1) = 0. |
10. |
yx¢ + x = 4 y3 + 3y2 , |
|
|
y(2) =1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
y¢ = y |
|
(3x - y2 ), |
y(0) =1. |
12. |
(2x + y)dy = ydx + 4ln ydy, |
y(0) =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
x( y¢ - y) = e x , |
|
|
y(1) = 0. |
14. |
(1 - 2xy) y¢ = y( y -1), |
|
|
y(0) =1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
y¢ + 2xy = xe- x 2 |
, |
y(0) = 0. |
16. |
xy¢ + y = sin x, |
|
y(p 2) = 2 p. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
(2e y - x) y¢ =1, |
|
|
y(0) = 0. |
18. |
xy¢ + (x +1) y = 3x2e-x , |
y(1) = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
(x + y2 )dy = ydx, |
y(0) =1. |
20. |
(sin2 y + x ctg y) y¢ =1, |
y(0) = p 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
xy¢ - 2 y + x2 = 0, |
y(1) = 0. |
22. |
(x +1) y¢ + y = x3 + x2 , |
y(0) = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. |
(xy¢ -1) ln x = 2 y, |
y(e) = 0. |
24. |
(x2 -1) y¢ - xy = x3 - x, |
y( |
|
) =1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
(1- x |
2 |
)y |
¢ |
+ xy =1, |
y(0) =1. |
26. |
¢ |
|
|
|
|
|
|
2 |
x ctg x, |
y(0) = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y ctg x - y = 2cos |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27. |
x2 y¢ = 2xy + 3, |
|
|
y(1) = -1. |
28. |
y = x( y¢ - x cos x), |
|
|
y(p 2) = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
xy¢ + y = ln x +1, |
y(1) = 0. |
30. |
y¢ - 3x2 y - x2ex 3 |
= 0, |
|
|
y(0) = 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Розв’язати диференціальне рівняння [17]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
y¢ + y = x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2. ydx + 2xdy = 2 y |
|
|
|
sec2 ydy. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
y¢ + 2 y = y2ex . |
|
|
|
4. |
y¢ = y4 cos x + y tg x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
xydy = ( y2 + x)dx. |
|
6. |
xy¢ + 2 y + x5 y3ex |
= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
¢ |
3 |
sin y |
= xy |
¢ |
- 2 y. |
|
8. |
(2x |
2 |
y ln y - x) y |
¢ |
= y. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
2 y¢ - |
x |
= |
|
|
|
xy |
. |
|
|
10. xy¢ - 2x2 |
|
|
= 4 y. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y x2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. |
xy2 y¢ = x2 + y3. |
|
|
|
12. (x +1)( y¢ + y2 ) = -y. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
- x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
+ y |
|
= -xy . |
|
|
|
|
|
14. |
y¢ - xy = -y e . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
xy¢ - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
y¢ + xy = x3 y3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15. |
|
|
x3 |
y = y. |
|
|
|
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
74