æ |
1 |
4 |
3 |
- 2 |
|
1 |
ö |
|
|
æ |
6 |
2 |
- 3 |
2 |
3 |
ö |
|
|
æ |
2 |
5 |
- 2 |
- 3 |
|
-1 ö |
||||
ç |
5 |
2 |
7 |
- 2 |
|
|
÷ |
|
|
ç |
4 |
3 |
- 2 |
3 |
2 |
÷ |
|
|
ç |
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
÷ |
|
25) ç |
|
5÷ |
|
|
26) ç |
÷ |
|
|
27) ç4 |
|
|
|
5 ÷ |
||||||||||||||||
ç |
4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
÷ |
|
|
ç |
3 |
2 |
- 2 |
4 |
1 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
÷ |
|||
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
è |
- 5 |
|
- 4ø |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
æ- 2 - 2 |
3 |
- 3 |
|
- 5 |
ö |
æ |
4 |
3 |
-1 |
-1 |
2 |
ö |
æ |
|
2 |
|
- 2 |
- 2 4 |
2 |
ö |
|||||||||
ç |
4 |
|
1 |
3 |
3 |
|
|
|
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
|
÷ |
||||||||||||||
28) ç |
|
|
|
4 ÷ |
29) ç- 2 |
5 |
- 2 |
2 |
3 ÷ |
30) ç-1 |
|
3 |
- 3 |
4 |
1 |
÷ |
|||||||||||||
ç |
3 |
|
3 0 |
3 |
|
|
6 |
÷ |
ç |
4 1 |
- 4 |
2 |
- 8 |
÷ |
ç |
|
2 |
|
- 3 |
4 1 |
5 |
÷ |
|||||||
è |
|
|
|
ø |
ç |
÷ |
ç |
|
|
÷ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.3. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
Література: [1, розділ 2, п. 2.1-2.5]; [2, розділ 3, п. 3.2]; [3, розділ 2, п. 2.4]; [4, розділ 1, глава 3]; [5, глава 2]; [7, розділ 3]; [10, розділ 3]; [13, розділ 1, § 3]; [14, розділ 3]; [16, розділ 2].
Індивідуальне завдання 1.3
Задача 1
У декартовій прямокутній системі координат задано точки:
A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3), A4(x4, y4, z4).
Знайти:
1)проекцію вектора A1 A2 на вектор A1 A4 ;
2)кут між векторами A1 A2 , A1 A4 ;
3)площу трикутника A1 A2 A3;
4)об’єм піраміди A1 A2 A3 A4.
1. |
A1(1, 4, 1), |
A2(3, 2, 1), |
A3(1, –1, –3), |
A4(10, 7, 4). |
2. |
A1(–2, 3, –2), |
A2(–3, 5, 4), |
A3(6, 5, 3), |
A4(2, –3, 4). |
3. |
A1(–3, –5, 6), |
A2(2, 7, –2), |
A3(9, 6, 3), |
A4(7, 5, 3). |
4. |
A1(6, –3, 2), |
A2(4, 8, –3), |
A3(3, 6, –4), |
A4(5, 3, 3). |
5. |
A1(4, 6, 3), |
A2(–6, 2, 6), |
A3(3, –2, 3), |
A4(–5, 6, 4). |
6. |
A1(2, 3, –4), |
A2(8, –3, 2), |
A3(6, 5, –3), |
A4(–4, 2, 3). |
7. |
A1(–2, 3, 4), |
A2(5, 5, 6), |
A3(2, 3, 4), |
A4(4, –3, 2). |
8. |
A1(8, 7, 5), |
A2(4, –3, 2), |
A3(6, 4, 1), |
A4(–2, 5, 8). |
9. |
A1(–5, 6, 4), |
A2(8, 9, 10), |
A3(4, 8, 7), |
A4(–2, 1, 5). |
10. |
A1(2, –1, 2), |
A2(3, 2, –2), |
A3(–3, 6, –2), |
A4(4, –1, –3). |
11. |
A1(1, –1, 3), |
A2(8, 5, 3), |
A3(9, 6, 3), |
A4(3, 6, –4). |
12. |
A1(–5, 6, 1), |
A2(–1, 3, 0), |
A3(1, –2, 2), |
A4(–1, 1, 3). |
13. |
A1(1, –7, 5), |
A2(0, –9, 7), |
A3(2, 3, –2), |
A4(–3, 1, –1). |
14. |
A1(5, 2, 3), |
A2(7, 5, –6), |
A3(–2, –5, –1), |
A4(–1, –1, –1). |
15. |
A1(–2, 4, 2), |
A2(3, 7, 0), |
A3(5, 4, 3), |
A4(–1, –3, 2). |
16. |
A1(6, 5, 4), |
A2(9, –2, 7), |
A3(6, 4, 1), |
A4(8, 3, 2). |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
20
17. |
A1(3, 4, –1), |
A2(5, –1, 1), |
18. |
A1(2, 3, 4), |
A2(11, 4, 7), |
19. |
A1(1, 8, –3), |
A2(9, –2, 4), |
20. |
A1(4, –3, 5), |
A2(6, 9, 0), |
21. |
A1(1, 1, 1), |
A2(2, –1, 1), |
22. |
A1(6, –3, 2), |
A2(5, 1, 4), |
23. |
A1(0, –2, 1), |
A2(4, –2, 1), |
24. |
A1(9, 7, 4), |
A2(3, –2, –5), |
25. |
A1(1, 1, –3), |
A2(–2, –1, 1), |
26. |
A1(6, 4, –1), |
A2(–2, 5, –2), |
27. |
A1(4, –3, 3), |
A2(5, 2, 6), |
28. |
A1(5, 2, –4), |
A2(8, –1, 7), |
29. |
A1(–1, 4, 4), |
A2(7, 6, 3), |
30. |
A1(6, 6, 4), |
A2(5, –4, 1), |
A3(–2, 0, 3), A3(6, 10, 12), A3(12, 5, 4), A3(7, 3, 4), A3(4, –2, 3), A3(2, 1, 1), A3(–2, 0, –2), A3(4, 7, 6), A3(3, 1, –2), A3(3, 3, 5), A3(2, 3, 2), A3(5, 6, 3), A3(2, 4, 7), A3(7, 8, 3),
A4(–3, –5, 5). A4(4, –1, 5). A4(8, –2, 4). A4(2, 3, 5). A4(8, –4, 5). A4(4, 0, –2). A4(–10, 2, –3). A4(8, 0, –4). A4(8, 2, – 3). A4(4, –4, 3). A4(5, 0, –2). A4(–1, 4, 2). A4(7, –5, 3). A4(–4, 6, 2).
Задача 2
У просторі R3 задано п’ять векторів: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r |
æ x |
ö |
r |
æ x |
ö |
r |
æ x |
|
ö |
r |
æ x |
ö |
r |
æ x |
|
ö |
ç 1 |
÷ |
ç |
2 ÷ |
ç |
3 |
÷ |
ç |
4 ÷ |
ç |
5 |
÷ |
|||||
a1 |
= ç y1 ÷, a2 |
= ç y2 ÷ , a3 |
= ç y3 ÷, a4 |
= ç y4 ÷ , a5 |
= ç y5 ÷. |
|||||||||||
|
ç |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
ç |
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
è z1 |
ø |
|
è z |
2 ø |
|
è z3 |
ø |
|
è z |
4 ø |
|
è z5 |
ø |
||
Потрібно:
1)знайти три вектори, що утворюють базис, і розкласти інші вектори в цьому базисі;
2)перейти до нового базису і знайти координати розкладу інших векторів у новому базисі.
№ |
r |
r |
r |
r |
r |
№ |
r |
r |
r |
r |
r |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
||
1 |
2 |
3 |
–1 |
1 |
0 |
2 |
9 |
2 |
1 |
0 |
–4 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–3 |
–1 |
–1 |
–1 |
3 |
||
|
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
5 |
2 |
2 |
3 |
–8 |
3 |
0 |
3 |
2 |
1 |
3 |
4 |
0 |
3 |
2 |
–1 |
1 |
–1 |
–3 |
–1 |
–1 |
1 |
–1 |
0 |
–1 |
1 |
–1 |
||
|
3 |
8 |
2 |
2 |
–5 |
|
3 |
–2 |
2 |
–3 |
2 |
5 |
–1 |
1 |
0 |
–1 |
2 |
6 |
–1 |
–3 |
1 |
1 |
–1 |
1 |
–1 |
–1 |
3 |
–1 |
3 |
8 |
–4 |
–2 |
1 |
||
|
–3 |
2 |
3 |
–7 |
2 |
|
0 |
–2 |
–1 |
2 |
–3 |
7 |
–5 |
–1 |
1 |
–1 |
7 |
8 |
–1 |
–5 |
–1 |
1 |
3 |
16 |
3 |
–2 |
1 |
-15 |
1 |
10 |
3 |
–2 |
–2 |
||
|
1 |
0 |
2 |
–3 |
10 |
|
–3 |
–8 |
0 |
2 |
11 |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
21
№ |
r |
r |
r |
r |
r |
№ |
r |
r |
r |
r |
r |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
||
9 |
–1 |
2 |
–1 |
3 |
1 |
10 |
3 |
1 |
–1 |
–3 |
–1 |
1 |
–1 |
3 |
–6 |
–2 |
–6 |
–2 |
1 |
8 |
3 |
||
|
–3 |
8 |
0 |
5 |
2 |
|
5 |
2 |
–3 |
–3 |
0 |
|
3 |
5 |
–9 |
1 |
–7 |
|
21 |
3 |
1 |
–7 |
7 |
11 |
–2 |
–3 |
6 |
–1 |
5 |
12 |
-14 |
–2 |
–1 |
5 |
–6 |
|
–5 |
–9 |
16 |
–1 |
12 |
|
-36 |
–5 |
–1 |
12 |
-11 |
|
–7 |
–9 |
3 |
1 |
25 |
|
–7 |
18 |
3 |
5 |
1 |
13 |
5 |
7 |
–2 |
–1 |
-18 |
14 |
5 |
-13 |
–2 |
–4 |
–1 |
|
12 |
15 |
–5 |
–1 |
-42 |
|
12 |
-30 |
–5 |
–8 |
–1 |
|
5 |
1 |
–7 |
7 |
3 |
|
–1 |
–3 |
5 |
1 |
3 |
15 |
–4 |
–1 |
5 |
–4 |
–2 |
16 |
2 |
5 |
–7 |
–1 |
–4 |
|
–8 |
–1 |
12 |
-14 |
–5 |
|
0 |
–2 |
7 |
2 |
5 |
|
–9 |
–1 |
1 |
3 |
–1 |
|
3 |
3 |
–1 |
1 |
–9 |
17 |
15 |
2 |
–1 |
–4 |
0 |
18 |
–4 |
–3 |
2 |
–1 |
13 |
|
–7 |
0 |
2 |
5 |
–6 |
|
5 |
8 |
0 |
2 |
-13 |
|
3 |
–6 |
–1 |
–1 |
1 |
|
–1 |
1 |
3 |
–7 |
–1 |
19 |
–4 |
9 |
2 |
1 |
–1 |
20 |
1 |
–1 |
–4 |
9 |
2 |
|
5 |
–8 |
0 |
–3 |
2 |
|
–3 |
2 |
5 |
-11 |
0 |
21 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
–1 |
22 |
0 |
0 |
1 |
–1 |
4 |
1 |
3 |
–2 |
–1 |
0 |
6 |
1 |
–1 |
0 |
–5 |
||
|
–1 |
0 |
3 |
–2 |
4 |
|
–7 |
–1 |
–2 |
4 |
–9 |
|
–1 |
–3 |
0 |
1 |
4 |
|
–1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
23 |
0 |
3 |
1 |
–1 |
0 |
24 |
0 |
0 |
1 |
–2 |
–1 |
|
4 |
8 |
–1 |
–2 |
-15 |
|
4 |
-11 |
–1 |
–5 |
–2 |
25 |
2 |
1 |
–1 |
–2 |
0 |
26 |
–1 |
–3 |
3 |
1 |
1 |
–2 |
–1 |
0 |
4 |
1 |
0 |
–1 |
3 |
1 |
2 |
||
|
–5 |
–2 |
4 |
1 |
–1 |
|
–3 |
–8 |
7 |
2 |
2 |
|
–7 |
–1 |
1 |
1 |
3 |
|
1 |
–1 |
–1 |
1 |
–3 |
27 |
–3 |
0 |
1 |
2 |
–2 |
28 |
2 |
3 |
0 |
1 |
–5 |
|
-19 |
–3 |
2 |
2 |
9 |
|
2 |
–4 |
–3 |
2 |
–7 |
|
1 |
–2 |
–1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
–5 |
–1 |
29 |
2 |
–3 |
0 |
–1 |
1 |
30 |
–1 |
1 |
2 |
–5 |
0 |
|
2 |
–5 |
–3 |
3 |
2 |
|
3 |
2 |
2 |
-11 |
–3 |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
22