Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

162

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

д) xn = cos π2n .

5.2. Предел последовательности

Определение предела последовательности. Число a называется пределом последовательности {xn }, если для любого сколь угодно малого положитель-

ного числа ε существует номер Nε , такой, что для всех членов последова-
тельности с номерами n > Nε , выполнено неравенство						xn − a	<ε .
тельности с номерами n > Nε , выполнено неравенство						xn − a	<ε .
В этом случае пишут: lim x = a или x → a .
		n→∞ n		n
Неравенство		xn − a	<ε	равносильно	двойному			неравенству
Неравенство		xn − a	<ε	равносильно	двойному			неравенству
a −ε < xn < a +ε ,
которое означает,	что точки xn ,			начиная с некоторого номера				n > Nε , лежат

внутри интервала (a −ε;a + ε), который называется ε-окрестностью точки а.

Если последовательность, имеет предел, то она называется сходящейся

(сходится к a ), в противном случае – расходящейся.

Пример 5.4. Доказать, пользуясь определением предела последовательно-

сти, что число a = 2 является пределом последовательности xn = 2nn++13 . Для

ε = 0,001 найти соответствующий номер Nε , такой, что

xn − a

<ε

для всех xn ,

для которых n > Nε .

Решение: Рассмотрим любое число

ε > 0 и найдем для этого числа но-

мер Nε , такой, что

для всех

членов последовательности xn ,

для которых

n > Nε ,

будет

справедлива

цепочка

x − a

2n + 3 − 2

2n + 3 − 2n − 2

<ε .

n +1

208

Решив последнее неравенство относительно n , получим n > ε1 −1. Следо-

вательно, можем положить, например,					Nε = 1		−1 +1 (где [α] − целая часть
						ε
числа α ). Таким образом, показано,				что для любого числа ε > 0 существует
	1		xn	− 2		<ε для всех членов последовательно-

номер Nε =	ε	−1 +1, такой, что

сти с номерами n > Nε . Согласно определению предела последовательности,

мы доказали, что lim 2n + 3 = 2 .

n→∞ n +1

При ε = 0,001 получаем	Nε =	1		+1 =1000 , т.е.	xn	− 2	< 0,001 при

			−1
		0,001

n >1000 .

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Говорят,

что последовательность {xn } стремится к плюс бесконечности, если для любо-

го сколь угодно большого положительного числа M существует номер NM ,

такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM , выполнено неравенство xn > M .

В этом случае пишут: lim xn = +∞ или xn → +∞ .

n→∞

Говорят, что последовательность {xn } стремится к минус бесконечности,

если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M существует номер NM , такой, что для всех членов последовательности с номе-

рами n > NM , выполнено неравенство xn < M .

В этом случае пишут: lim xn = −∞ или xn → −∞.

n→∞

Говорят, что последовательность {xn } стремится к бесконечности, если для любого сколь угодно большого положительного числа M существует номер NM , такой, что для всех членов последовательности с номерами n > NM ,

209

выполнено неравенство

> M

(последовательность {

}

стремится к плюс

бесконечности).

В этом случае пишут: lim x

= ∞ или x →∞. Очевидно, если lim x

= +∞

n→∞

или lim x

= −∞, то можно считать также, что lim x = ∞.

n→∞

n→∞ n

Последовательность {x }

называется бесконечно большой, если lim x = ∞,

n→∞

и бесконечно малой, если lim x

= 0 .

n→∞ n

Пример 5.5. Доказать, пользуясь определением, что

1)последовательность {xn }= 1 является бесконечно малой;

2)последовательность {xn }={2n +1} является бесконечно большой.

Решение: 1) Требуется доказать, что lim 1

0. Рассмотрим любое число

n→∞ n

ε > 0 . Тогда

− 0

1 − 0

1 и неравенство

− 0

<ε будет выполнено в

точности тогда,

когда 1 <ε ,

т.е. когда n > 1

. Положив Nε = 1

+1, получим,

что для всех n > Nε

справедливо неравенство

− 0

<ε . В соответствии с оп-

ределением предела это и означает, что lim 1

= 0.

n→∞ n

2) Докажем, что lim(2n +

1) = +∞ . Рассмотрим любое положительное число

n→∞

M . Неравенство

x = 2n +1 > M

будет выполнено при n >

M −1

. Положив

Nε = M −1 +1, получим, что

для всех

n > Nε

справедливо неравенство

xn > M . Это и означает, что lim(2n +1) = +∞ .

n→∞

Свойства бесконечно малых последовательностей.

1) Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

210

2)Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность;

3) Последовательность {xn }, все члены которой отличны от нуля,– беско-

нечно малая тогда и только тогда, когда последовательность – бесконечно

большая (символически это можно записать следующим образом: 10 =∞,

∞1 = 0 ).

Операции над пределами последовательностей.


Если lim x = a , lim y								n	= b , то
	n→∞				n		n→∞	n
1)	lim x ± y					n	= a ± b ;
	n→∞ n					n
2)	lim cxn			= ca для любого c R ;
	n→∞
3)	lim x y			n	= ab ;
	n→∞ n			n
4)	lim	xn	= a				, если b ≠ 0 ;
4)	lim		= a				, если b ≠ 0 ;
	n→∞ yn				b

5) lim(x )k =					lim x	n )	k	= ak , k N ;
n→∞	n			(n→∞		n )
6) lim k x		n	= k		a , k N .
n→∞		n
n→∞

Пример 5.6. Найти следующие пределы:

1)	lim		sin n		;		2)		lim	2n3 − 3n +1	;
			n							3n3 + 7
	n→∞								n→∞
3)				n3					lim	n + 2 − n − 2 ;
	lim					;	4)

	n→∞		3n −1						n→∞
5)	lim	n 6 n + 5 32n10					− 7	.

	n→∞ (3n − 4 n) 3 8n3 + 8

211

Решение: 1) Последовательность xn = sin n является ограниченной, т.к. sin n ≤1 для любого натурального n , поэтому ее произведение на бесконечно

малую последовательность yn = 1n есть также бесконечно малая последователь-

ность, т.е. lim sin n = 0 .

n→∞ n

2) Числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие последовательности. В этом случае говорят, что имеет место неопределен-

ность

∞

. Разделим числитель и знаменатель выражения, стоящего под зна-

∞

2n3 − 3n +1

2 −

ком предела на старшую степень n , т.е. на n3 : lim

= lim

3n3 + 7

n→∞

3 +

Используя далее теоремы об операциях над пределами, получим

−

lim 2

− lim

+ lim

− 3lim

+ lim

= 2 − 0 + 0

= 2 .

n→∞

n→∞ n2

n→∞ n3

n→∞ n2

n→∞ n3

lim

3 +

lim3 + lim

3 + 7lim

3 + 0

n→∞

n→∞ n

3) Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (выби-

∞

раем из двух вариантов: n2 и n2 ), т.е. на n2 :

lim

3n −1

n→∞

∞

= lim

= = lim

. Последовательность, находящаяся в знаме-

n→∞

−

n→∞

−

нателе дроби, есть бесконечно малая, как сумма бесконечно малых последовательностей, поэтому исходная последовательность является бесконечно боль-

шой, т.е. lim	n3
		=∞.

n→∞	3n −1

4) Домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему, после чего воспользуемся формулой разности квадратов:

212

lim	n + 2 − n − 2 = lim (		n + 2 −	n − 2)(		n + 2 + n − 2)	=
n→∞		n→∞		n + 2 +		n − 2

lim	(n + 2) − (n − 2)	= lim	4		. Последовательность
	n + 2 + n − 2		n + 2 +
n→∞		n→∞		n − 2

{

n + 2 +

n − 2}

является бесконечно большой, поэтому последовательность

– бесконечно малая, а значит lim

n + 2 − n − 2 =0.

n + 2 +

n − 2

n→∞

5) Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (выби-

раем из n1+

= n

, n

= n2 , n1+

= n2

и n

= n

), т.е. на n2 :

6 n

+ 5

32n10 − 7

+ 5 32 −

n 6 n +

5 32n10 − 7

n10

lim

= lim

6 n5

n→∞ (3n − 4 n) 3 8n3 + 8

n→∞ 3n − 4 n

8n3 + 8

n→∞

(3 −

) 3 8

4 n3

0 + 5 32 + 0

=1.

(3 − 0) 3 8 +

Связь между сходимостью и ограниченностью последовательностей. Число e .

Справедливы следующие утверждения:

1)Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

2)Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Последовательность		+	1	n	возрастает и ограничена сверху, а потому
Последовательность	1	+	1		возрастает и ограничена сверху, а потому


			n

сходится. Ее пределом является число Эйлера e = 2,71828182845…, служащее

			+	1 n
основанием натуральных логарифмов. Таким образом, lim 1			+		= e .
		n→∞		n
	2n +1	n
Пример 5.7. Найти lim	2n	.
n→∞	2n

213

2n +1 n

1 n

1 2n

Решение: Имеем:

. Обозна-

lim

= lim 1

n→∞

чив

последнем

выражении

2n = k ,

2n +1

lim

== lim

1 +

= e2

= lim

n→∞

k→∞

продолжим цепочку:

e .

Задачи для самостоятельного решения

5.6. Доказать, пользуясь определением, что число a является пределом последовательности xn , если

а)

x = n +1 , a =1;

б)

= 3n +1 , a = 3 ;

n −5

в)

2n −

, a =

;

г)

3n2 −1

, a = 3 ;

5n +

д)

= 3n+1 −1 , a = 3 ;

е)

x =

5n2

, a = 5 .

n2 + 6

5.7. Доказать, пользуясь определением,

что

последовательность

является

бесконечно малой:

а)

x =

;

б) x =

;

−1

в)

x =

;

г) x =

ln n

5.8. Доказать, пользуясь определением,

что

последовательность

является

бесконечно большой:

а) x = ln n ;

б) x = 3n ;

в) x

n2 −1

;

г) x = (−1)n n2 .

214

Найти пределы последовательностей

5.9. lim n −3 .

n→∞ 6n +1

5.11. lim n3 −1000n2 +1 . n→∞ 1000n2 +17n

(n +5)4

5.13. lim 4 .

n→∞ 1 −5n

5.15. lim

+5 −

+ 4

n→∞

4n +1 2n +3

5.17. limn→∞(3 n3 − 4n2 − n).

5.19. lim

n→∞

3n +

5.21. lim

(3 − n)3

−(2 − n)3

(1 − n)3

−(1+ n)3

n→∞

5.23. lim

(n + 2)2

−(n +5)3

− n)3

n→∞

5.25. lim

n 3 3n2

+ 4 4n8 +1

(n + n)(7 − n + n2 )

n→∞

1 + 2 +…+ n

5.27. lim 2 .

n→∞ n

5.10. lim		n3 − 2n +5			.
	2n2 − 2n3 + 7
n→∞
5.12. lim		1000n3 − 4n2					.
	0,0001n4 +10n3 −3
n→∞
5.14. lim	6			2
			−			.
				3n −1
n→∞	n −3

5.16. limn→∞(

9n2 + n −3n).

5.18. limn→∞(

4n2 −7n + 4 − 2n).

5.20. limn→∞(

2n2 +3n −3n).

5.22.

lim

(n + 2)3 −(n + 2)2

− 2)3 −

(n + 2)3

n→∞

5.24.

lim

n + 6 −

n2 −5

4 n3 +

n→∞ 3 n3 +3 +

5.26. lim

10n3 −

n3 + 2

4n6 +3 − n

n→∞

1 + 1 +

1 +…+

5.28. lim

n→∞ 1 + 1 + 1 +…+

5.29. lim

+…+

3 5

(2n −1)(2n +1)

n→∞

1 3

5.30. lim

12 + 22 +32

+…+ n2

n→∞

7n −1

5.31. lim

5.32. lim

−1

7n +1

n→∞

215

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.20193 Мб84самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
01.07.2025179 Кб2Самый гениальный отчет по практике.docx
#
31.08.20193 Мб78сахар.doc
#
01.05.20253 Мб13сахар.docx
#
21.08.20191 Мб9Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162 Мб162сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163 Мб515сборник заданий по матем часть1.pdf
#
01.05.20256 Мб4Сборник к ГОСам ТиГ 2012-13 1.docx
#
01.07.2025995 Кб2Сборник лекций новый ОТ.doc
#
01.03.2025727 Кб3Сборник стандартов 02.10.08 Паневчик.docx
#
20.02.20163 Мб12Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc