Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

162

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.6. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Система линейных уравнений называется однородной, если свободный член в каждом уравнении равен нулю:

a11x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = 0,

............................................... . am1x1 + am2 x2 +…+ amn xn = 0

Однородная система всегда совместна, так как ранг ее матрицы равен рангу расширенной матрицы. Решение x1 = x2 =…= xn = 0 называется нулевым

или тривиальным решением. Если ранг r матрицы однородной системы равен числу n неизвестных, то нулевое решение будет единственным. Если же r < n,

то всегда можно построить (n − r) линейно независимых вектор-решений (о

векторах читайте в гл.2). Фундаментальной системой решений системы однородных линейных уравнений называется совокупность максимального числа линейно-независимых векторрешений. Для построения нормированной фундаментальной системы решений в найденном множестве решений однородной системы поочередно придаем одному из свободных неизвестных значение 1, а остальные свободные неизвестные полагаем равными нулю. Затем вычисляем базисные неизвестные.

Пример 1.16. Найти нормированную фундаментальную систему решения для однородной системы:

			х1 + х2 + 3х3 − 2х4 + x5					= 0,

		3х1 + 2х2 + 3х3 − х4 + 2x5 = 0.
Р е ш е н и е. Выпишем матрицу системы и сделаем один шаг гауссова
исключения:	1	1	3	− 2	1	1	1	3 − 2 1
исключения:		2	3	−1			−1	. Тогда имеем равно-
	3	2	3	−1	2	0	−1	−6 5 −1

сильную систему:

х +

+ 3х

− 2

+ x

= 0,

Базисными будут неизвестные

− х2 − 6х3 +5х4 − x5 = 0.

x1 и x2 ,

тогда

x2 = −6x3 + 5x4 − x5 ;

x1 = 3x3 −3x4 , где x3 , x4 , x5 R. Полагая

=1, x

= 0, x

= 0,

имеем

1 = (3, − 6, 1, 0, 0);

полагая x

=1, x

= 0, x

= 0,

имеем

2 = (−3,5, 0, 1, 0), полагая x

=1, x

= 0, x

= 0, имеем

3 = (0, −1, 0, 0, 1).

Задачи для самостоятельного решения

Решить однородные системы уравнений.

х1 + 2х2 +3х3				= 0,	х1	+ х2 + х3			= 0,
1.98. 2х1 +3х2			+ 4х3		1.99. 2х1
1.98. 2х1 +3х2			+ 4х3	= 0,	1.99. 2х1	+ 3х2 + х3 = 0,
3х	+ 4х	2	+5х	= 0.	3х	− х	2	− х	= 0.
1		2	3		1		2	3

6х1 −8х2 + 2х3

+3x4

= 0,

х1 − 2х2 +3х3

− x4 = 0,

1.100.

1.101. х1

+ х2 −

х3

+ 2x4 = 0,

3х1

− 4х2

+ х3

− x4

= 0.

4х1

−5х2 +8х3

x4 = 0.

х1 + 4х2 − 7х3

= 0,

+ х

− х

−

= 0,

1.102. 3х1 − 2х2 + х3

= 0,

1.103. 3х1 − х2 + 2х3 + x4

= 0,

2х

+ х

−3х

= 0.

5х1 − х2 −

x4 = 0.

		х1 + х2 + х3 = 0,									х1 + х2 +3х3 + x4 = 0,
	5	х	−	х	2	−	х	3	= 0,	2	х	− х	2	+	х		3	+3x	4	= 0,
1.104.		1			2			3		1.105. 4	1		2				3		4
1.104.	3х		+	х	2	+	х	3	= 0,	1.105. 4	х	+ х	2	+ 7	х		3	+5x	4	= 0,
		1			2			3			1		2				3		4
	2x		+3x		2	+ 2x		3	= 0.	5	х	− х	2	+5х		3		+7x	4	= 0.
		1			2			3			1		2			3			4

	3х1 + х2 + х3 −6x4 −12x5 +3x6 = 0,
	х		+ х	2		+ х −					2x		4	−		6x			5	+ x		6	= 0,
	1			2					3				4						5			6
1.106.	х1				+ х3 −							x4 −5x5											= 0,
1.106.	х1				+ х3 −							x4 −5x5											= 0,
	х	2			+ х				3					−		3x		5					= 0,
		2							3									5
	х1 − х2 + х3													− 4x5 − x6 = 0.
	х1 − х2 + х3													− 4x5 − x6 = 0.
	х1 + 3х2 − х3 + 4x4 − x5																				= 0,
	х1 + 3х2 − х3 +													x4 + x5 =
1.107.	х1 + 3х2 − х3 +													x4 + x5 =								0,
1.107.	2х		+ 6х				2	− 2x			3	+		x		4					= 0,
		1					2				3					4
	3х		+9х			2		−3х		3		+		x	4		+ x			5	= 0.
		1				2				3					4					5

Выяснить, существует ли фундаментальная система решений для каждой из указанных систем:

1.108.

х1 − 2х2

= 0,

1.109.

х2 − 2х1

−3х3

= 0,

3х1

+ 4х2

4х1

− 2х2

= 0.

+ х3 = 0.

х1 + х2

− х3

= 0,

х1 − 2х2

+ 9х3

= 0,

1.110. 4х1 −3х2

+ 2х3

1.111. 2х1

− х3 = 0,

= 0,

8х

− 6х

+ х

= 0.

3х

− х

+ 4х

= 0.

Найти фундаментальную система решений для каждой из указанных сис-

тем:

х1

х2 −5х3 −3x4

= 0,

х1 − 2х1 + х3 − 4x4 +

= 0,

1.112. 2х1

−

х2 − х3

1.113.

= 0,

3х

−6 х

−3x

= 0.

2х1

− 4х1

− х3

+ x4

−

2x5 = 0.

х1 + 2х2 −5х3 − x4

= 0,

х1 − х2 − х3 − 2x4

= 0,

х1 +

х2 − 4х3 + x4

1.114.

= 0,

1.115. 5х1 − х2 −3х3 −

х +

−3x

= 0,

2x4 = 0,

− 2х1 + х2 + x3 −

х −

+ х

+ 2x

= 0.

1.7.Контрольные задания к главе 1

Взадаче 1 каждого варианта выполнить указанные действия над матри-

цами.

Взадаче вычислить определитель, используя свойства определителей и теорему о разложении по элементам строки или столбца.

Взадаче 3 решить систему линейных уравнений с помощью формул Кра-

мера.

Взадаче 4 найти матрицу, обратную данной и результат проверить умножением.

Взадаче 5 исследовать данную систему на совместность и, в случае совместности, решить ее.

Взадаче 6 решить данное матричное уравнение.

Взадаче 7 найти ранг матрицы А в зависимости от значения параметра α.

Взадаче 8 построить фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений.

						Вариант 1
				1	1	2
1. f (x) = 2x	2	+ 3x + 5,	A =		3		f ( A) −?
1. f (x) = 2x		+ 3x + 5,	A =	1	3	1 ,	f ( A) −?

				4 1		1

	2	−5	1	2			7x1	+ 2x2		+3x3 =15,

	−3	7	−1	4
2.					.	3. 5x1		− 3x2		+ 2x3 =15,
	5	−9	2	7
							10x1
	4	−6	1	2				−11x2 +5x3 = 36.

		7	2	3			2x1 + 3x2 − x3 + x4							+ 3 = 0,
							3x1 − x2			+ 2x3 + 4x4				−8
4.	A =	5	−3 2 .			5.									= 0,

							x1	+ x2		+3x3 − 2x4				−6 = 0,

	10		−11 5				− x	+ 2x	2	+3x	3	+ 5x	4	−3	= 0.
							1

	2	7	3		−1	3
6.	3 9		4 X =		−1	5 .


	1	5 3		− 2		3


8.	2x1 +3x2 − x3 +			x4	= 0,
	x1	− x2	+ x3 − 4x4
					= 0.

1.	f (x) = x2				5
1.	f (x) = x2		−8x + 7, A =
					4
	−3	9	3	6
	−3	9	3	6
2.	−5	8	2	7	.
	4	−5	−3	− 2
	7	−8	− 4	−5

	1	2	3	4
7. A = − 2		− 4 − 6		−8 .

	0	0	α	0

Вариант 2

2 , f ( A) −? 3

2x1 + x2 = 5,

3. x1 +3x3 =16,

5x2 − x3 =10.

		2 1	0						x1	+ x2 + x3						= 0,
		2 1	0						2x1	− x2 +3x3					+ x4 = −2,
4.	A = 1 0 3			.				5.	2x1	− x2 +3x3					+ x4 = −2,
4.	A = 1 0 3			.				5.
									− x1 + 2x2						+3x4 = 8,
									− x1 + 2x2						+3x4 = 8,
		0 5	−1						3x	+ x		2	+	x	− x	4	= −2.
									1			2		3		4
	−5 1 6				− 2					1 −1 5 −5
6.				=		0		7. A =			−2			α
6.	−3 1 4 X			=		0	.	7. A =		2	−2			α	−10 .
						3									0
		1 0 1				3				0 0 0					0

8. x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2, 2x1 −3x2 + x3 − x4 =1.

						Вариант 3
									1
	3		6	1	0 3 2				1
	3		6	1	0 3 2				1	′	′ ′
1.	A =		,	B =		,	X =			′	′ ′
		2	1	0	−1 −1 1				0

								−1

				3	−3		−5			8										x1 + x2 − 2x3												= 6,
				3	−3		−5			8
				−3	2		4			−		6
2.				−3	2		4			−		6		.				3. 2x1 +3x2 −										7x3 =
2.				2	−5		− 7			5				.				3. 2x1 +3x2 −										7x3 =							16,
				2	−5		− 7			5									5x + 2x						+					x		=16.
																			5x + 2x				2		+					x	3	=16.
				− 4	3		5			−6										1			2								3
				− 4	3		5			−6
				1		1	−	2												3x1 − 2x2									+ 5x3 + 4x4													= 2,
				1		1	−	2												6x1 − 4x2									+ 4x3 +3x4													= 3,
4.				A = 2 3 −				7 .										5.		6x1 − 4x2									+ 4x3 +3x4													= 3,
4.				A = 2 3 −				7 .										5.
																				9x1 − 6x2									+ 3x3 + 2x4 = 4,
																				9x1 − 6x2									+ 3x3 + 2x4 = 4,
																				15x	−10x									+	7x						+	5x				= 7.
				5 2 1																15x	−10x						2			+	7x			3			+	5x		4		= 7.
																				1							2							3						4
				2		2 3						3				11	11				0 α 0 0
												3				11	11
6. X 1					−1 0				=			2 −3 −1 .						7. A =			2								1				3 −1 .
																												−1 −3 0
				−1 2 1																	−2							−1 −3 0
8.				x1 − 2x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0,
8.	2x1 + 3x2 − x3							+ x4 − x5 = 0.
	2x1 + 3x2 − x3							+ x4 − x5 = 0.
																		Вариант 4
					3	6	, Y =						1			, X	′	′
1. A =					2		, Y =									, X	=Y A AY −?
					2	1							−1
			2		−5		4			3										5x1 +8x2 + x3 = 2,
			2		−5		4			3
			3		− 4		7			5
2.			3		− 4		7			5	.
2.			4		−9		8			5	.								3. 3x1 − 2x2 + 6x3 = −7,
			4		−9		8			5										2x		+			x					−		x					= −5.
																				2x		+			x			2		−		x			3		= −5.
				−3	2		−5			3											1							2							3
				−3	2		−5			3
				5		8		1												3x1 −5x2								+ 2x3 + 4x4													= 2,
				5		8		1												7x1 −4x2									+ x3 +3x4													= 5,
4.				A = 3 − 2 6						.									5.	7x1 −4x2									+ x3 +3x4													= 5,
4.				A = 3 − 2 6						.									5.
																				5x1 + 7x2									− 4x3 − 6x4 = 3,
																				5x1 + 7x2									− 4x3 − 6x4 = 3,
				2 1				−1												10x		−9x				2			+3x				3			+ 7x			4			= 7.
																				1						2							3						4
		1 −1 3								− 2														α							0						1				0
		1 −1 3								− 2
6.		2 3 5 X						=				3			.				7. A =					1							2 −3 1 .
																						2									4 − 6 2
					4							0
		1			4	1						0													+1						2					− 2
																						α			+1						2					− 2					1

2x1 + 3x2 − x3 + x4						= 0,

8. x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0,
3x + 2x	2	+	x	+ 2x	4	= 0.
1	2		3		4

1.	f	(x) = x2 − 4x −9,					3
1.	f	(x) = x2 − 4x −9,				A =
							2
							2
	3	−3	− 2	−5
	3	−3	− 2	−5
2.	2	5	4	6	.
	5	5	8	7
	4	4	5	6

Вариант 5

6		f ( A) −?
	,	f ( A) −?
1
1
		2x1 −3x2	+ x3	= −7,
		3. x1 + 4x2	+ 2x3
		3. x1 + 4x2	+ 2x3	= −1,
		x1 − 4x2
		x1 − 4x2		= −5.

		2	−3		1
4.	A = 1		4		2 .

			− 4
		1	− 4		0
	2	1	−1		2	2
6.	2 −1 2			X = 1 −3 .

		0	1
	3	0	1		1	−1
8.	x1 + 2x2		− x3		+ x4 = 0,
8.	2x1	+ x2
	2x1	+ x2	− x3 +3x4 = 0.

1.	A = 3		2 , B = −1 2				,
		2	3		2 −1
	3	−5		− 2	2
	3	−5		− 2	2
2.	− 4	7		4	4	.
	4	−9		−3	7
	2	−6		−3	2

	4	2	−1
4.	A = 1	2	1	.

		1
	0	1	−1

2x −3x + 5x + 7x =1,

5.2x1 −3x2 −11x3 −15x4 =1,

4x1 −6x2 + 2x3 + 3x4 = 2.1 432

		α		2α	3α	4α
7.	A =		1	2	3	4
							.
			0	0	0	0

Вариант 6

C =	6	− 4 . AB − BA −C 2	−?

	9	− 6
		4x1 + 2x2 − x3	= 0,
		3. x1 + 2x2 + x3	=1,
		3. x1 + 2x2 + x3	=1,

		x2 − x3 = −3.

9x1 −3x2 + 5x3 + 6x4 = 4,
5. 6x1 −2x2 + 3x3 + x4 = 5,
5. 6x1 −2x2 + 3x3 + x4 = 5,

3x1 − x2 +3x3 +14x4 = −8.

		1		2	1		1	2	3	4
6.	X	−1 3			4	= [− 2 −3 0].	7. A = −1 1		2	1	.

			3	5				3	5	α
			3	5	1		0	3	5	α
8.	x1 + x2 − x3					+ x4 − x5 = 0,
8.	2x1		+ 2x2 + 3x3
	2x1		+ 2x2 + 3x3			− x4 + 2x5 = 0.

Вариант 7

1. C =

1 , D =

1 1 , A =

6 − 4 . CD − DC − A2 −?

−1

1 1

− 6

−5

− 4

2x1 − x2

= 0,

−3

−5

x1 + 2x2

−5

− 7

− x3 = −2,

−8

− 6

x2 + x3 = −5.

2 −1 0

4x1 + 2x2

− x3

+ 2x4

= 3,

4. A =

5. 3x1 + 2x2

−3x3

+ 4x4

=1,

1 2 −1 .

2x1 +3x2 − 2x3 + 3x4 = 2.

0 1

2 3 1

1 1

α 0 −1 2

6. X 7 9 5 =

1 2 −1 .

A = 2α

0 −

2 4 .

3 4 4

0 0 α

x1 − x2 + x3 − x4 + x5

= 0,

2x1

− 2x2

+ 3x3

+ 4x4 − x5

= 0.

					Вариант 8
3	0	1	−1	1		1	. ABC −?
1. A = 2	−1	0 ,	B = 2	− 2 ,	C =	1	. ABC −?

						−1
	0			0
3	0	1	5	0

	1	0	0	−1					x1 − x2				+ 2x3 = 0,
	1	0	0	−1
	−1	3	2	2
2.	−1	3	2	2	.			3. x1 + x2
2.	2	0	0	3	.			3. x1 + x2					− 2x3 = 2,
	2	0	0	3					x + x				+ 4x				= 2.
									x + x			2	+ 4x			3	= 2.
	4	− 2	3	1					1			2				3
	4	− 2	3	1
		1 −1		2					x1 − 2x2 + 2x3									=1,
		1 −1		2					2x1 +3x2 − x3
4. A = 1 1				− 2 .				5.	2x1 +3x2 − x3									= 4,
4. A = 1 1				− 2 .				5.
									3x1 +				x2 + 3x3 = 7,
			1	4					3x1 +				x2 + 3x3 = 7,
		1	1	4					x		−		x	2	+ 2x			= 2.
									1					2			3
	−3 −3 2									0 1 5 −1
6.	X	3	3	1		= [1 2 5].		7. A =		0			α 10					− 2 .

		1	2
		1	2	−1						0 0 0								0
8.	x1 + x2 −			x3 + x4			= 0,
8.	x1	+ 2x2
	x1	+ 2x2	+ 3x3 − x4 = 0.

								Вариант 9
	3 1 2						0 1 − 2
1.	A =	2 3		1		,	B = 2 0	−3 . AB −?


	−1 0 − 2						3 4 5
	2	− 2	3	3						3x1			+ x3 =1,
	2	− 2	3	3
	3	0	−1 2
2.	3	0	−1 2			.			3. − x1		+ 2x2 +
2.	−1	3	4	6		.			3. − x1		+ 2x2 +				3x3 = 3,
	−1	3	4	6						2x1 + 4 x2 +
	2	1	0	1						2x1 + 4 x2 +					x3 =1.
	2	1	0	1
		3	0	1					− 2x1 + 2x2 − x3							= −7,
		3	0	1						x1 −3x2 +					x3	= 6,
4.	A = −1 2 3 .								5.	x1 −3x2 +					x3	= 6,
4.	A = −1 2 3 .								5.
										3x1 + x2 + 2x3 = 7,
		2	4							3x1 + x2 + 2x3 = 7,
		2	4	1						4x	− 2x		2	+ 3x		=13.
										1			2		3
	1 −1 0						0 4				−1 0 2					1
6.	2 4		−1 X		=		0 − 2 .		7. A =			2 0			− 4 − 2 .

			2									1 α
	0 1		2				5 7					1 α			− 2 −1


8.	x1 + 2x2 −			x3 + 4x4 − x5		= 0,
	2x1	+ 4x2	+	3x3 +	x4 + x5 = 0.

											Вариант 10
		1	0	0
1. A =								f (x) = x	3	−5x	2	+ 7x −3,	f ( A) −?
1. A =		0 1 0 ,						f (x) = x		−5x		+ 7x −3,	f ( A) −?
			0
		0	0	1
	0	−1	1	1									3x1	+5x2		− x3		= 2,
	0	−1	1	1
	1	3	2	−1
2.	1	3	2	−1		.						3.	x1	−3x2		+ 2x3
2.	0	3	4	2		.						3.	x1	−3x2		+ 2x3		= 3,
	0	3	4	2									6x1
	1	1	−1	2									6x1	+ 7x2 −3x3 = 3.
	1	1	−1	2
													3x1 − x2 + x3 = 6,
		3	5	−1									x	−5x	2	+ x	3	=12,
													1		2		3
4. A =			−3									5. 2x1		+ 4x2
4. A =		1	−3	2 .								5. 2x1		+ 4x2				= −6,
				−									2x1	+ x2 + 3x3 = 3,
		6 7		−	3								2x1	+ x2 + 3x3 = 3,
													5x1			+ 4x3 = 9.
													5x1			+ 4x3 = 9.
	3 −1 0						−1 2							0 −1 2 α
6.	2 1 −1 X				=			1 0 .				7. A = 2 1 3 −α .

		−1 4
	2	−1 4						0 −1						2 0 5 0

8.	x1 −3x2 + x3 −x4			= 0,
	2x1	+ x2	− x3 + x4
				= 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 384 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.20193 Мб84самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
01.07.2025179 Кб2Самый гениальный отчет по практике.docx
#
31.08.20193 Мб78сахар.doc
#
01.05.20253 Мб13сахар.docx
#
21.08.20191 Мб9Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162 Мб162сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163 Мб514сборник заданий по матем часть1.pdf
#
01.05.20256 Мб4Сборник к ГОСам ТиГ 2012-13 1.docx
#
01.07.2025995 Кб2Сборник лекций новый ОТ.doc
#
01.03.2025727 Кб3Сборник стандартов 02.10.08 Паневчик.docx
#
20.02.20163 Мб12Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc