Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

162

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Глава 7. Приложения производной

7.1. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора

Теорема Ролля. Если функция f (x) : 1) непрерывна на отрезке [a; b], 2)

дифференцируема в интервале (a; b) , 3)	f (a) = f (b) , то найдется такая точка
′
c (a; b) , в которой f (c) = 0 .
Теорема Лагранжа. Если функция	f (x) : 1) непрерывна на отрезке [a; b],

2) дифференцируема в интервале (a; b) , то найдется точка c (a; b) , в которой

′

f (b) − f (a) = f (c)(b − a) .

Теорема Коши. Если функции y = f (x) и y = g(x) :1) непрерывны на от-

′

для всех

резке [a; b], 2) дифференцируемы в интервале (a; b) , причем g (x) ≠ 0

x (a; b) , то найдется такая точка

c (a; b) , в которой

f (b) − f (a)

′

f (c)

g(b) − g(a)

′

g (c)

Формула Тейлора. Если функция

f (x) имеет производные до (п +1)-го

порядка включительно в интервале (x0 −ε, x0 +ε),

ε > 0 , то для всех

из это-

го интервала справедлива формула Тейлора (порядка п)

f (x) = f (x0 ) +

f ′(x0 )

(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x − x0 )2 +... +

(n) (x

)

(x − x

)n + R

(x),

n+1

где

(x) =

f (n+1) (ξ)

(x − x

)n+1,

ξ (x

−ε,

+ε) –

остаточный член

форме

n+1

(n +1)!

Лагранжа. Формула Тейлора в точке x0 = 0 называется формулой Маклорена.

Пример 7.1. Выяснить, удовлетворяет ли функция y = x2 + x −3 услови-

ям теоремы Лагранжа на отрезке [− 2; 2]. Если да, то найти точку с отрезка, в

которой выполняется теорема.

273

Р е ш е н и е. Так как функция y = x2 + x −3 непрерывна и дифференци-

руема на всей числовой прямой, к ней применима теорема Лагранжа на любом

отрезке.

′

+1, y(2) = 3, y(−2) = −1.

По теореме Лагранжа

найдется

y (x) = 2x

′

y(2) − y(−2)

3 +1

точка c (−2; 2) такая, что y (c) = 2c +1 =

=1.

2 −(−2)

Отсюда получим с = 0.

Пример 7.2.

Написать

формулу

Тейлора 2-го

порядка

для

функции

y =

в точке x0 = 2 .

x −1

Р е ш е н и е.

Найдем

y′(x) = −

; y′′(x) = 2(x −

−3

. Найдем значе-

(x −1)2

ния

′

′′

′

′′

. Подставляя полученные

y(2), y (2) и y (2). y(2)

= 2; y (2) = −1;

y (2) = 2

значения в формулу Тейлора, получим

= 2 − (x − 2) + 2(x − 2)2 + R (x),

x −1

где

R (x) =

y′′′(ξ)

(x − 2)3 – остаточный член в форме Лагранжа,

ξ (x

; x) .

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Написать формулу Лагранжа для функции y = x на отрезке [1; 4] и найти

значение с.

7.2. Применима ли теорема Ролля к функции y =1 − 3 x2 на отрезке [−1; 1] ?

7.3.Выяснить, применима ли теорема Ролля к функции y = x2 −5x + 7 на отрез-

ке [1; 4].

7.4.Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = ln sin x на от-

резке π ; 5π .

6 6

274

7.5.Написать формулу Лагранжа и найти соответствующее значение с для функций а) y = ln x на отрезке [1; 2]; б) y = arcsin x на отрезке [0;1].

7.6.Написать формулу Коши и найти соответствующее значение с для функ-

ций а) y = sin x и y = cos x на отрезке			π			x и y = x	2	на отрез-
ций а) y = sin x и y = cos x на отрезке		0;	2	; б) y =		x и y = x		на отрез-
			2
ке [1; 4].
7.7. В какой точке касательная к графику функции					y = 4 − x2 параллельна хор-
де, соединяющей точки A(−2; 0)	и B(1; 3) .
7.8. Написать формулу Лагранжа	для	функции			y = arcsin(2x) на			отрезке
[x0 ; x0 + x].

7.9.Показать, что уравнение x3 −3x +1 = 0 не может иметь двух различных корней в интервале (0; 1).

7.10.Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

y = 2x3 −3x2 + 5x +1 в точке x0 = −1.

7.11. Для многочлена				x4 + 4x2 − x + 3 написать формулу Тейлора 2-го порядка
в точке		x0 =1.
7.12. Написать формулу Маклорена 3-го порядка для функции y = arcsin x .
7.13. Написать формулу Маклорена 4-го порядка для функций
а) y = ex ;		б) y = sin x; в)				y = cos x; г) y = ln(1 + x); д) y = (1 + x)−2 .
7.14. Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы:
а) lim	1 − cos x		;	б) lim	ex	−1 − x	.
	x2	+ x3				2x2
x→0				x→0

7.2. Правило Лопиталя-Бернулли

	Если при вычислении предела вида lim	f (x)
	Если при вычислении предела вида lim	g(x)
	x→a	g(x)

275

пределы lim	f (x) = lim g(x) = 0,
x→a	x→a

но при этом существует lim f ′(x)

x→a g′(x)

						0
т.е. имеет место неопределенность вида						0	,
						0
, то lim	f (x)	=	lim	f ′(x)	.
, то lim		=	lim		.
	g(x)			′
x→a	g(x)		x→a	g (x)
x→a			x→a

Аналогичным образом, если lim

f (x) = lim g(x) = ∞, т.е. имеет место не-

→a

x→a

∞

′

f (x)

определенность вида

, но при этом существует

lim

, то

lim

′

g(x)

∞

x→a

lim

f ′(x)

Неопределенность вида

0 ∞, ∞ −∞, 1∞ , 00

сводятся к неопределен-

′

x→a

g (x)

∞

ностям

или

путем алгебраических преобразований.

∞

Пример 7.3. Найти предел lim

ex −1

sin 2x

x→0

Р е ш е н и е.

Так как lim (ex −1) = lim sin 2x = 0, имеем неопределенность

x→0

вида 00 . Применим правило Лопиталя-Бернулли.

lim

−1

= lim

(ex −1)′

= lim

1 .

sin 2x

(sin 2x)′

x→0

x→0 2 cos 2x

Пример 7.4. Найти предел lim

x→∞

Р е ш е н и е. Так как lim x2 = lim ex

= ∞, имеем неопределенность вида

x→∞

∞

. Применим правило Лопиталя-Бернулли.

∞

lim

= lim

= (так как неопределенность вида

сохраняется, еще раз

x→∞ ex

x→∞

∞

используем правило Лопиталя) = lim

= 0 .

x→∞ ex

Пример 7.5. Найти предел

lim x ln x .

x→0

276

Р е ш е н и е. В данном примере имеется неопределенность вида 0 ∞. В таких случаях произведение функций f (x) g(x) представляют в виде дроби

f (x)

g(x)

или

; после чего неопределенность приобретает вид

или

g(x)

(x)

∞

lim x ln x = lim ln x

= lim

= −lim x = 0 .

→0

x→0

x→0 −

x→0

Пример 7.6. Найти предел lim (cos x)

x→0

Р е ш е н и е.

В данном примере имеется неопределенность вида 1∞ . В та-

ких случаях, а также в случаях неопределенности вида 00 и ∞0 необходимо пре-

дел искомой функции y = f (x)g ( x) выразить через предел функции z = ln y . Так
lim	z
как y = ez , lim y = ex→x0	, а
x→x0

lim z = lim ln y = lim g(x) ln f (x) . Последний предел представляет собой не-

x→x0

∞

определенность вида 0 ∞ и сводится к неопределенности

или

∞

1 ln cos x =

ln cos x

В данном примере Z = ln y = ln(cos x)

;

ln cos x

(ln cos x)′

−tgx

lim z

= e

=1.

lim

= lim

(x)′

= lim

0 . lim y = ex→0

x→0

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.
7.16. lim	x −3	;	7.17. lim	ex − e2 x	;	7.18. lim	1	− cos x	;
	x4 −81			sin x			1 −cos 4x
x→3			x→0			x→0

277

7.19.	lim	1 −cos 4x ;
	x→0			2x2
7.22.	lim	1 − 2sin x						;
	π		cos3x
	x→6
7.25.	lim	3 x −3				2	;
7.25.	lim		x −			2	;
	x→2		x −			2
7.28.	lim		x3	;
7.28.	lim			;
	x→∞ ex
7.31.	lim		e2 x −1					;
7.31.	lim	ln(1 + 2x)						;
	x→0	ln(1 + 2x)
7.34.	lim		6tgx		;
7.34.	lim				;
	x→π		tg3x
	2
7.37.	lim x2 e−x					;
	x→∞

7.20. lim

x→1

7.23. lim

x→0

7.26. lim

x→0

7.29. lim

x→π4

7.32. lim

x→0

7.35. lim

x→0

7.38. lim

x→∞

x3 −3x2 + x +1			;
x4	+ x3	− 2

x cos x −sin x 2x3 ;

ex − e−x − 2x ; x −sin x

1 −tgx ; cos 2x

ln x ; ln sin x

3x − 4x ; x 1 − x2

x e1x −1 ;

7.40.

lim (1 − e2 x )ctg3x ;7.41.

lim (x −π)tg

;

x→0

x→π

7.43.

lim

−

; 7.44.

lim

ctgx −

1 ;

x→1

ln x

x→0

7.46.	lim xsin x		;
	x→0
7.49.			1	3x
	lim 1	−		;
	lim 1	−	x2	;
	x→∞		x2
7.52.	lim (ln x)( x2 −1) ;
	x→1

7.47. lim (tgx)2 x−π ;

x→π2

7.50. lim xx ;

x→0

7.53. lim (cos x) x .

x→0

7.21.

lim

−

;

tgx

x→0

7.24.

lim

x − arctgx

;

x→0

2x3

7.27.

lim

−

;

sin 2x

x→0

7.30.

lim

ln x

;

1 − x3

x→1

7.33.

lim

ln2 x

;

x→∞

7.36.

lim x2 ln x;

x→0

7.39.

lim x2 ex−2 ;

x→0

7.42.

lim

−

;

x→1

x −1

ln x

7.45.

lim

−

;

x→0 x sin x

7.48.

lim

tgx

;

x→0

7.51.

lim x

1−x

;

x→1

278

7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке

Функция		y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на интервале
(а, в), если для любых x2 > x1, x2 , x1 (a,b) выполняется неравенство
		f (x2 ) > f (x1 ) (f (x2 ) < f (x1 )).
Если	функция y = f (x) дифференцируема		на интервале	(а,b) и
′	′		f (x) возрастает (убывает)
f (x) > 0 (f	(x) < 0) для всех x (a,b) , то функция
на интервале (а, b).
Точка	x0	называется точкой максимума (минимума) функции		y = f (x) ,

если существует такая окрестность (x0 −δ, x0 +δ) этой точки, что для всех x (x0 −δ, x0 +δ), x ≠ 0 выполняется неравенство

f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )).

Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если x0 – точка экстремума функции f (x) , то производная функции в этой точке равна нулю либо не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует,

называются критическими точками.

	Первое достаточное условие экстремума функции. Пусть x0 – крити-
ческая точка функции			y = f (x) и			f (x) дифференцируема в некоторой окрест-
ности	(x0 −δ,	x0 +δ)	точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 .
Если	′	для всех				′	x (x0 , x0 +δ) , то
	f (x) < 0			x (x0 −δ, x0 ) и f (x) > 0 для всех
точка	x0 является точкой минимума функции f (x) .
	Если f	′		для	всех	x (x0 −δ, x0 ) и f	′	для всех
		(x) > 0					(x) < 0
x (x0 , x0 +δ) , то точка				x0	является точкой максимума функции f (x) .
	Если производная			′				x0 , точка
				f (x) одного знака слева и справа от точки

x0 не является точкой экстремума.

279

Второе достаточное условие экстремума функции. Если функция f (x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и f ′(x0 ) = 0 ,

то при условии f ′′(x0 ) > 0		точка x0 является точкой минимума функции, при
условии f ′′(x0 ) < 0	точка	x0 является точкой максимума функции. В случае
f ′′(x0 ) = 0 требуется дополнительное исследование.
Если функция	y = f (x) непрерывна на отрезке [a b]; то, ее наибольшее

(наименьшее) значение на данном отрезке достигается либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.

Пример 7.7. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x2 − 4x − 2 ln(x − 2) +8 и исследовать ее на экстремум.

Р е ш е н и е. Для решения задачи необходимо

а) найти область определения функции: x − 2 > 0 , следовательно, функция определена в интервале (2; + ∞) ;

б) найти ее критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. С этой целью вычисляем производную и приравнива-

ем ее к нулю: y′ = 2x − 4 − x −2 2 = 0 . Получим, что производная равна нулю при

x = 3 и x =1, но последняя точка не принадлежит области определения функции. Так как производная определена всюду в области определения функции, у функции есть одна критическая точка x = 3;

в) на числовую ось нанести область определения функции и ее критические точки. В полученных интервалах определить знаки производной.

• –	•	+
2	3	х

Окончательно получаем: функция убывает на интервале (2; 3), возрастает на интервале (3; + ∞) , в точке x = 3 производная меняет знак с « – » на « + »,

следовательно, эта точка является точкой минимума функции, а минимум функции равен y(3) = 5 .

280

Пример 7.8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 −3x2 +5 на отрезке [1; 4].

Р е ш е н и е. Найдем критические точки функции, принадлежащие отрезку [1; 4], для чего производную функции приравняем к нулю.

y′ = 3x2 − 6x = 0 . Получим, x1 = 2, x2 = 0 (эта точка не принадлежит данному интервалу).

Поскольку наибольшее, наименьшее значения функции достигаются либо в критических точках, либо в границах интервала, необходимо найти значение

функции	в этих	точках и	выбрать из них наибольшее и наименьшее:
f (1) = 3,	f (4) = 21,	f (2) =1. Следовательно, наибольшее значение функции
равно 21 и достигается в точке			х = 4, наименьшее значение равно 1 и достига-

ется в точке х = 2.

Пример 7.9. Из куска жести размером 16 х 30 см необходимо изготовить коробку (без крышки) наибольшего объема, вырезая равные квадраты по углам листа и затем загибая их для образования боковых стенок коробки. Найти раз-

меры коробки.					х			х
					х			х
				х					х
Р е ш е н и е.				16
Р е ш е н и е.				16
Площадь основания коробки будет
Площадь основания коробки будет
равна S = (16 − 2x)(30 − 2x) , а высота равна
равна S = (16 − 2x)(30 − 2x) , а высота равна						30
						30
х, где х – сторона вырезаемого квадрата (рис. 7.1).							Рис. 7.1
Тогда объем	V = S x = (16 − 2x)(30 − 2x)x . Исследуем функцию V на экстре-
мум, учитывая, что			0 < x < 8 . Найдем производную V ′ =12x2 −184x + 480 = 0.
Получим x = 10 , x		2	=12, но 12 больше 8. Точка 10			является точкой максиму-
1	3	2		3
	3			3
ма функции	V, так как V ′′ 10			= −104 < 0 . Стороны основания коробки –						28
			3							3
и 70 , высота равна		10 .
3			3

281

Задачи для самостоятельного решения

Найти интервалы возрастания и убывания функций.


7.54. y = x2		− 6x +8;		7.55. y = x3 −9x2 − 21x +1;	7.56.	y = x3 + 3x2 +3x +1;
7.57. y = x4		− 2x3 +5;		7.58. y = x e−x ;	7.59.	y = e−x2 ;
7.60. y = 2x		+ 4−x ;		7.61. y = 2x −e2 x ;	7.62.	y = x ln x;
7.63. y =	2x		;	7.64. y = (x −3)4 (x +1)3 ;	7.65.	y =	x	;
1	+ x2						ln x
7.66. y = x		2x − x2 ;		7.67. y = 2x2 − ln 2x;	7.68. y = x3 + x;

7.69.y = arctg x − x.

Исследовать функции на экстремум.

7.70.

y = x2 − 4x + 5;

7.71. y = 3 +8x − 2x2 ;

7.72. y = 3x4 − 4x3 +3;

7.73.

y = 32x − x4 ;

7.74. y = x3 −9x2 +15x − 2;

7.75. y = 2x3 −6x2 −18x +1;

7.76.

y = x 1 − x2 ;

7.77. y =

x2 − 6x +13 ;

7.78. y = 3 x3 −3x2 +8 ;

7.79.

y = x2 3 7 − x ;

7.80. y =

2x − 6 ;

7.81. y = x +

x2 +1;

7.82.

y = e4 x−x2 ;

7.83. y = ex + e−x ;

7.84. y = 2e−x2 ;

7.85.

y = 3x e−x2 ;

7.86. y = ex sin x;

7.87. y = 2cos x ;

7.88.

y =

ln x

;

7.89. y = x − ln(1 + x);

7.90. y = x − ln(1 + x2 );

7.91. y = ln x − 2arctgx;

7.92. y =

;

7.93. y =

−1

;

x2 + x

y =

2x2

−

7.94.

;

7.95. y = 3x 3 − x.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных отрез-

ках.

7.96. y = x3 −9x2 +15x +1, [− 2;6];

7.97. y = x3 −3x2 −3, [1; 4];

7.98. y = x2 (x − 2),

[1; 2];

7.99. y = 4x4 − 2x2 + 2,

[0; 2];

282

7.100. y = 3x4 − 4x3 −12x2 +3,

[− 2;3]; 7.101.

y = x3 −3x2 +3x + 5,

[− 2; 2];

7.102. y = x2 − 4x + 3,

[0;3];

7.103.

y =

+ 3

[1;5];

7.104. y =

[0; 2];

7.105. y =

[2; 4];

x − x2 −1

2 −3

7.106. y =

x3 + 2x2

[−1;1];

7.107. y = x − 2

x ,

[0; 4];

x − 2

7.108. y = 4x +

+ 2,

;1 ;

7.109. y = 3

x5 − 3

+1,

[−1;0];

7.110. y =

−6x +16 ,

[0;6];

7.111. y = ln 2x − x

+ x,

; 2 ;

7.112. y = sin 2x − x,

;

7.113. y = 2x −tgx ,

−

;

7.114. y = 2sin x − cos 2x,

;

3π

−

Доказать справедливость неравенств в указанных интервалах.

7.115. ex ≥ x +1,	x R;		7.116. ln(1 + x) < x,			x > 0;
7.117. cos x ≥1 −	x2	, x R;	7.118.	sin x < x −	x3	+		x5	, x > 0.
	2				6		120

7.119. Число 12 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

7.120. Число 16 представить в виде произведения двух множителей так,

чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
7.121. Найти отношение радиуса R к высоте Н цилиндра	объема
V = 4π , при котором его полная поверхность будет наименьшей.
7.122. На параболе y = x2 найти точку наименее удаленную от прямой
y = 2x − 4 .
7.123. Из круга радиуса R вырезают сектор, содержащий угол	α , а за-

тем сектор свертывают в конус с образующей, равной R. При каком значении угла α объем конуса будет наибольшим?

283

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.20193 Мб84самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
01.07.2025179 Кб2Самый гениальный отчет по практике.docx
#
31.08.20193 Мб78сахар.doc
#
01.05.20253 Мб13сахар.docx
#
21.08.20191 Мб9Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162 Мб162сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163 Мб515сборник заданий по матем часть1.pdf
#
01.05.20256 Мб4Сборник к ГОСам ТиГ 2012-13 1.docx
#
01.07.2025995 Кб2Сборник лекций новый ОТ.doc
#
01.03.2025727 Кб3Сборник стандартов 02.10.08 Паневчик.docx
#
20.02.20163 Мб12Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc