5.4. Замечательные пределы

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник выс мат часть 1(2013).pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3820 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

(sin x +1 −sin x ).

+3 .

5.71. lim

5.72. lim

x→∞

x→±∞

−3

5.73. lim

1 + 7x+2

5.74. lim

3 −7x

x2 +1

x→±∞

5.75. lim

tg2x

5.76. lim

1 +

2 −1

x→π

x→±∞

ctg

− x

5.77. lim

− x .

5.78. lim

−

5x −3

x→∞

−3

x→∞

= lim(1+ y)

Первый замечательный предел:

lim sin x =1.

x→0 x

Второй замечательный предел:

Пример 5.12. Вычислить следующие пределы:

1)	lim sinαx		, α R ;	2)	lim sin 2x ;
	x→0	x			x→0 sin 3x
3)	lim tg x ;			4)	lim arcsin x ;
	x→0	x			x→0	x
5)	lim	cos x				3x + 2 5 x−1
			;	6) lim		.
		2x −π	;	6) lim		.
	x→0	2x −π			x→∞	3x + 7

Решение: 1) Имеем неопределенность вида 00 . Умножим числитель и знаменатель дроби на число α , чтобы воспользоваться первым замечательным

пределом: lim sinαx		= lim	αsinαx	=α lim sinαx	. Произведя в последнем выра-
x→0	x	x→0	αx	x→0 αx

224

жении замену y =αx , получим αlim sinαx				=α lim sin y		=α . Итак,
		x→0	αx	y→0	y
lim sinαx		=α .
x→0	x

2) Снова имеем неопределенность вида 00 . Разделим числитель и знамена-

тель дроби на x , после чего воспользуемся результатом пункта 1) данного при-

мера: lim sin 2x		sin 2x
	= lim	x	=
		sin 3x
x→0 sin 3x	x→0
		x

lim	sin 2x		2 .
lim	x
x→0	x	=
	sin 3x	=
lim	sin 3x		3
lim	x
x→0	x

3) lim

tg x

= lim

sin x

= lim

lim

sin x

=1.

cos x

x→0

cos x x→0

4) Сделаем замену arcsin x = y . Тогда x = sin y и y → 0 при x → 0 , поэтому

lim

arcsin x

= lim

=1;

x→0

y→0 sin y

и 2x −π = −2

→ 0 при

x →

5) Замечая, что cos x = sin

− x

сделаем замену

− x = t , чтобы свести предел к первому замечательному:

lim

cos x

= lim

sin t

= −

2x −π

−2t

x→0

t→0

6) Здесь имеет место неопределенность вида 1∞ . Сведем данный предел ко второму замечательному пределу

3x + 2 5 x−1

3x + 2

−

5 x−1

3x + 2 − 3x − 7 5 x−1

lim

= lim 1

3x +

x→∞ 3x

x→∞

3x + 7

x→∞

−5

(5 x−1)

−5

5 x−1

−5

3x+7

−5

(5 x−1)

−5

3x+7

−5

3x+7

−5

= lim 1

= lim

1 +

3x +

x→∞

Выражение

−5

имеет своим пределом ноль при x → ∞, поэтому

3x +

225

−5

3x+7

−5

= lim 1

= e . Учитывая далее, что

3x + 7

x→∞

lim

−5

(5x −1)

= lim

−25x + 5

= −

, окончательно получаем

3x + 7

x→∞

lim

3x + 2 5 x−1

= e

−

3 .

x→∞

Полезно помнить часто используемые следствия из обоих замечательных пределов:

lim tg x

=1; lim arcsin x =1; lim arctg x

=1;

x→0

lim

loga (1 + x)

= loga

e , где a > 0, a ≠1,

в частности lim

ln(1 + x)

=1;

ln a

x→0

lim

ax −1

= ln a , где a > 0 , в частности lim

−1

=1;

x→0

а также

lim

(1 + x)m

−1

= m .

x→0

Пример 5.13. Вычислить следующие пределы

1) lim ln(2 − x) − ln 2 ;

2) lim eαx −1 ;

3) lim eαx − eβx .

x→0

Решение: 1) Для данной неопределенности вида 00 преобразуем выраже-

ние, стоящее под знаком предела так, чтобы воспользоваться одним из следствий из второго замечательного предела:

2 − x

ln 1

−

lim ln(2 − x) − ln 2

= lim

, после чего, обозначая

x→0

226

−

ln 1

ln(1

+ t)

−

= t , получим равенства lim

lim

. Таким образом,

x→0

2 t→0

lim ln(2 − x) − ln 2 =

1 .

x→0

2) lim

eαx −1

=αlim

eαx −1

αx = y

=α lim

ey −1

=α . Здесь мы также

αx

y → 0

x→0

y→0

воспользовались одним из следствий из второго замечательного предела.

3) Для данной неопределенности вида 0

справедливы равенства

lim eαx − eβx

= limeβx

e(α−β ) x −1

= limeβx lim

e(α−β ) x −1

. Воспользовавшись далее

x→0

результатом пункта 2) данного примера, окончательно получим

lim eαx − eβx

=1 1 =1.

x→0

Задачи для самостоятельного решения

5.79. lim		sin x		.		5.80. lim	sin2 2x		.
		tg9x					arcsin2	3x
x→0						x→0
5.81. lim	1		−cos 2x .			5.82. lim	1 −cos6x .
x→0			3x2			x→0	3xtg3x
5.83. lim	1		−cos5x .			5.84. lim	1 + xsin x −cos x .
x→0	1 −cos3x					x→0	sin2 x
5.85. lim			x		.	5.86. lim	1 + xsin x −1			.
		3 1 + x −1
x→0						x→0	x2
5.87. lim tgx −sin x .						5.88. lim lg(1 +3x) .
x→0			x3			x→0	x
5.89. lim	1		−6x	.		5.90. lim	8x −7x	.
	1 −ex						6x −5x
x→0						x→0

227

5.91. lim

sin 2x

ln(1 + x)

x→0

5.93. limt( t

a −1) , a > 0 .

t→∞

5.95. lim

x +8

x→∞

x − 2

5.97. lim

5 x2

2x2

x→∞

−3

5.99. lim

1−x

(1 − 4x)

x .

x→0

x−2

5.101. lim

x→2

3 +5x x

5.103. lim

x→0

3 + 2x

−

6x + 7

−x+1

5.105. lim

+ 20x −1

x→∞

5.107. lim(3x −1)[ln(x −3) −ln x] .
x→∞
5.109. lim	ax − a	.
	x −1
x→1
5.111. lim loga x −1 .
x→a	x − a
5.113. lim	xx −1	.
	xln x
x→1
5.115. lim cosαx −cos βx				, α ≠ β .
x→0		x2
5.117. lim	2 − 2cos x		.

x→π	π − 4x
4

5.92. lim sin 3x −sin x .
x→0			ln(x +1)
5.94. lim	6x			−3x			.
	x2 + x
x→0
5.96. lim		3x −1 2 x
							.
x→∞		3x +1
	5x3 +							2 2 x3 −1
									.
						3
5.98. lim				5x
x→∞
5.100. lim		x + a						x+c
								.

x→∞		x +b
5.102. lim 2 x 1 +3x .
x→0
5.104. lim				5 − x				x+2
								.
x→∞		6 − x
5.106. lim			1		ln			2 + x
								2 − x
x→0		2x

5.108. lim x(ln(a + x) −ln x) .

x→∞

5.110. lim ln x −1 .

x→e x −e

5.112. lim(1 −sin x)sin x .

x→0

5.114. lim(2 −cos x)cosec2 x .

x→0

5.116. lim tg πx sin			x −α			.

	x→α	2α		2
		1 + tg x		1
5.118.				sin x	.
	lim

	x→0	1 +sin x

228

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3820 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.20193 Мб84самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
01.07.2025179 Кб2Самый гениальный отчет по практике.docx
#
31.08.20193 Мб78сахар.doc
#
01.05.20253 Мб13сахар.docx
#
21.08.20191 Мб9Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162 Мб165сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163 Мб515сборник заданий по матем часть1.pdf
#
01.05.20256 Мб4Сборник к ГОСам ТиГ 2012-13 1.docx
#
01.07.2025995 Кб2Сборник лекций новый ОТ.doc
#
01.03.2025727 Кб3Сборник стандартов 02.10.08 Паневчик.docx
#
20.02.20163 Мб12Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc