42. Автокорреляционные и взаимно-корреляционные функции.
Взаимная
корреляционная функция для двух случайных
величин
и
:
,
(13)
Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то и носят название коррелированных случайных функций.
Для
стационарного процесса корреляционные
функции
и
не зависят от текущего значения времени
и определяются только временным сдвигом
.
Для
стационарного процесса корреляционная
функция определяет зависимость случайной
величины
в последующий момент времени
от предшествующего значения в момент
.
Основные
свойства КФ стационарного процесса
применительно к величине
.
1.
Корреляционная функция является четной
функцией, т. е.
.
2. При
КФ функция дает средний квадрат случайной
величины:
.
3. При
величины
и
можно считать независимыми и КФ дает
квадрат среднего значения СВ
.
4.
Значение КФ при
является ее наибольшим значением, т. е.
имеет место неравенство
.
5. Значение КФ будет тем меньше, чем больше промежутки времени , так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями будет обычно слабее.
6. Чем более подвижен объект наблюдения (менее инерционен), тем быстрее убывает с увеличением .
КФ можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса достаточно длительной записи
КФ можно найти по результатам эксперимента также при помощи специальных приборов - корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы, отстоящих друг от друга на расстояние .
43. Спектральная теория случайных процессов.
Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье.
формула Релея (теорема Парсеваля), которая соответствует энергетической форме интеграла Фурье:
(5)
Подставляя
,
получим
(6)
Удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (5) можно представить в виде
(7)
Правая часть (7) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины х(t). Введем обозначение
,
(8)
можно переписать формулу (7) в виде
(9)
или в виде
(10)
где
или
- спектральная плотность.
Важным
свойством спектральной плотности
является то, что интегрирование ее по
всем частотам от
до
дает средний квадрат исходной функции
времени х(t).
Физический
смысл спектральной плотности – это
величина, которая пропорциональна
средней мощности процесса в интервале
частот от
до
.
Спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями:
;
(11)
.
(12)
Обычно спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции при помощи формул (11). Эти формулы соответствуют так называемому двустороннему преобразованию Фурье четной функции времени .
Нормированная спектральная плотность является изображением Фурье нормированной корреляционной функции:
,
(13 )
где
- спектральная плотность соответствует
процессу
и, следовательно,
(14)
где
- дисперсия.
Взаимные
спектральные плотности
и
являются изображениями Фурье
и
.
Рассмотрим
некоторые стационарные случайные
процессы, обладающие следующими
свойствами: математическое ожидание
равно нулю
,
а дисперсия
.
При этом средний квадрат случайной
величины будет равен дисперсии:
,
а
.
1.
Белый шум. Под белым шумом понимается
случайный процесс, имеющий «белый»
спектр, т. е. одинаковое значение
спектральной плотности при всех частотах
от
до
(рис. 1):
Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом сопротивлении.
Рис. 1
2.
Типовой входной сигнал следящей системы
представлен на рис. 2. Скорость сохраняет
постоянное значение в течение некоторых
интервалов времени
.
Переход от одного значения к другому
совершается мгновенно. Интервалы времени
подчиняются закону распределения
Пуассона, математическое ожидание
,
а средний квадрат скорости равен
дисперсии, т. е.
.
Среднее число перемен скорости за одну секунду- .
Среднее
значение интервала времени, в течение
которого угловая скорость сохраняет
постоянное значение-
Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения
.
При нахождении этого произведения могут быть два случая.
1.
Моменты времени
относятся к одному интервалу. Тогда
среднее значение произведения угловых
скоростей будет равно среднему квадрату
угловой скорости или дисперсии:
.
2. Моменты времени относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю:
,
так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными.
Корреляционная функция будет равна
где
- вероятность нахождения моментов
времени
в одном интервале,
а
- вероятность нахождения их в разных
интервалах.
Устремив
и переходя к пределу, получим
и
окончательно
.
(15)
Спектральная плотность рассматриваемого процесса равна:
.
(16)
3. Нерегулярная качка. Корабли, самолеты и другие объекты, находясь под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п.), движутся по случайному закону. Так как сами объекты имеют определенную, им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчеркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.
Корреляционную
функцию нерегулярной качки часто
аппроксимируют выражением
,
а соответствующая спектральная плотность
где
- дисперсия для угла,
,
.
При
такой аппроксимации дисперсия для
угловой скорости получается конечной:
.