48.Дискретное преобразование Лапласа.

Рис. 19. Структурная схема импульсного элемента с фиксатором.

Структурная схема импульсной системы с единичной обратной связью изображена на рис. 20. Она построена в соответствии с рис. 11, б и 19. Формирующий элемент и непрерывная часть системы соединены последовательно и образуют приведенную непрерывную часть системы ПНЧ с передаточной функцией

, (9)

где - изображение сигнала в форме дискретного преобразования Лапласа.

Рис. 20. Структурная схема импульсно-непрерывной автоматической системы.

 Упрощенная структурная схема импульсно непрерывной системы, включающая сумматор, простейший импульсный элемент, ПНЧ и обратную связь, полностью отображает динамические свойства импульсной автоматической системы (рис. 21).

Рис. 21. Упрощенная структурная схема импульсно-непрерывной системы.

Трудности практического порядка заключаются в том, что в системе есть дискретные и непрерывные сигналы, а передаточная функция W(р), как видно из формул (7) и (8), является дискретно-непрерывной функцией аргумента р. Таблицы дискретно-непрерывного преобразования Лапласа пока не созданы. В связи с этим на практике широкое применение получил математический аппарат дискретного преобразования Лапласа и одна из его разновидностей - -преобразование.

 Переход к дискретному преобразованию Лапласа применительно к рис. 21 означает, что мы будем находить реакцию на выходе системы не в виде непрерывной функции , а в виде дискретной функции . Затем, в случае необходимости, с помощью модифицированного преобразования можно найти и функцию .

Корреляционная функция будет равна

где - вероятность нахождения моментов времени в одном интервале,

а - вероятность нахождения их в разных интервалах.

Устремив и переходя к пределу, получим

и окончательно . (15)

Спектральная плотность рассматриваемого процесса равна:

. (16)

49. -преобразование.

Очень удобным на практике оказалось z-преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа путем подстановки : , (13)

где – оригинал; – изображение в форме z-преобразования

Рассмотрим пример определения изображений дискретных функций.

  Дана экспоненциальная дискретная функция . Найдем ее изображение .

 В справочной литературе по автоматике содержатся обширные таблицы дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования. В табл. 4 приведены изображения часто встречающихся функций.

Итак, изображения дискретных функций являются функциями , а не р, как это имеет место в обычном преобразовании Лапласа. В связи с этим возникла необходимость перехода к аргументу , который является периодической функцией частоты. Поэтому дискретные изображения и частотные спектры дискретных функций также являются периодическими функциями частоты с периодом .

50. Линейные разностные уравнения.

Пусть заданы числа и . Уравнение

называется линейным однородным разностным (или возвратным) уравнением -го порядка (над множеством ).

Сигналы в импульсных системах могут быть представлены в виде дискретных функций времени, т. е. функций, значения которых определены только для ди­скретных значений аргумента t = пТ. Между этими значениями независимой пе­ременной дискретная функция равна нулю.

Дискретную функцию можно образовать из любой непрерывной функции, если принять во внимание только ее дискретные значения в равноотстоящие друг от друга моменты времени (рис. 185). Эти ординаты называют дискретами.

Дискретную функцию будем обозначать символом х (пТ), где Т — период дискретности; п — любое целое число. Для того, чтобы получить функцию х (пТ) по заданной непрерывной функции х (t), в последней необходимо заме­нить t на пТ. Примеры непрерывных функций и соответствующих им дискрет­ных функций приведены ниже.

Непрерывная функция Дискретная функция

x(t) х(пТ)

1 (0 1 (пТ)

At AnT

At^% A (nTf

.—at ,—anT

Заметим, что дискретная функция не является однозначной: ей могут соответствовать различные непрерывные или разрывные функции, если только их ординаты в моменты времени t = пТ равны значениям функции х (пТ). Для устранения этой неоднозначности в рассмотрение вводят смещенные диск­ретные функции, позволяющие «просматривать» процессы внутри периодов дискретности Т.

Иногда оказывается удобным перейти к относительному масштабу времени 1— -j. При этом интервал между дискретами становится равным единице.

Как известно, скорость изменения непрерывной функции определяется ее первой производной. Скорость изменения дискретной функции х (пТ) характе­ризуется ее первой разностью, деленной на период дискретности Т. Следова­тельно, аналогом дифференциалов для дискретных функций являются раз­ности, а интегралов — суммы.

Первая разность, или разность первого порядка, дискретной функции х (пТ)

Ах(пТ) = х(пТ + Т)—х {пТ)

также является дискретной функцией времени.

Вторая разность, или разность второго порядка, определяется как первая разность от первой разности:

А²х (пТ) = Ах (пТ +Т) — Ах {пТ}, или

А-х (пТ) ^х(пТ + 2Т) — 2х {пТ + Т) + х {пТ).

Разность k-го порядка

Д* х {пТ) = А*-» х (пТ + Т) — Д*-»х (пТ).

Рассмотрим пример. Дана дискретная функция х (пТ) = АпТ (рис. 186). Ее первая разность

Ах(пТ) = А(пТ + Т)—АпТ = AT

является единичной ступенчатой дискретной функцией. Вторая и высшие раз­ности этой функции равны нулю.

Часто на практике вычисляют запаздывающую разность, которую легче получить техническими средствами:

\7х{пТ) = х(пТ)—х(пТ — Т) = Ах(пТ) е~^рТ

Известно, что исследование динамики непрерывных систем основано на составлении и решении дифференциальных уравнений. Динамические процессы в дискретных автоматических системах описываются разностными уравнениями,или уравнениями в конечных разностях. Линейное неоднородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

где х_ъу_ (пТ) — известная дискретная функция (задающее воздействие); ^хвых (^пТ) — дискретная функция, определяемая уравнением (решение); А' — разности 1-х порядков; b_t и c_t — постоянные коэффициенты.