55. Условия устойчивости на -плоскости и при использовании -преобразования.

Необходимым условием работоспособности импульсной системы является ее устойчивость. Известные из предыдущих бесед основные определения устойчи­вости непрерывных систем применимы и к импульсным системам, но с учетом ряда особенностей этих систем.

Обратимся к основной формулировке условия устойчивости: импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.

Как уже отмечалось, на практике часто ограничиваются определением ди­скретной функции х_вых (пТ) на выходе системы. Это решение можно получить, например, из формулы (194) в виде суммы свободной и вынужденной составля­ющих:

Хвых (пТ) = х_с {пТ) 4- х_в (пТ).

Таким образом, условие устойчивости системы следует записать так:

Vim х_с{пТ) = 0.

Оценку устойчивости импульсной системы, как и непрерывной, обычно производят на основании исследования характеристического уравнения замкну­той системы, получаемого из формулы (194):

(199)

Это алгебраическое уравнение имеет m корней г_; на плоскости г. Однако, по­скольку переменная z появилась в связи с подстановкой г = еР^т, то каждый корень z_t связан с корнями p_i на плоскости р зависимостью г_с = е^р'⁽. Легко заметить, что нулевому корню, например р_г = 0, соответствует корень г_г = 1, а корням р_с с отрицательными вещественными частями соответствуют корни

\Ч\< 1.

Теперь можно дать формулировку математического условия устойчи­вости: импульсная автоматическая система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения (199) лежат внутри круга единичного ради­уса, построенного в начале координат комплексной плоскости z (рис. 188, точки гх, г2, 23, z4, г5). Если хотя бы один из корней лежит на окружнос­ти с радиусом R = 1, то система на­ходится на границе устойчивости (рис. 188, точка ze). При наличии ко­рней | 2; | > 1 система неустойчива (рис. 188, точка z7).

Определение корней характери­стического уравнения (199) при т >• 3 сопряжено с известными трудностями. Рис. 188. Комплексная плоскость г.

Поэтому на практике находят применение косвенные оценки — критерии ка­чества, позволяющие оценивать устойчивость импульсных систем без опреде­ления корней.

К импульсным системам применим любой из известных критериев устойчи­вости непрерывных систем. Однако для этого предварительно необходимо произ­вести билинейное преобразование полинома М (z) в полином М (w) по формуле

Такое преобразование позволяет отобразить единичный круг плоскости г (рис. 188) в левую часть комплексной плоскости р, аналогичную области устой­чивости непрерывных систем на плоскости р. К характеристическому уравнению М (w) = 0, которое также имеет порядок т, применимы алгебраические крите­рии устойчивости И. А. Вышнеградского и Гурвица.

Оценим устойчивость двух конкретных систем.

Пример 9. Импульсная система первого порядка имеет характеристическое уравнение

М (г) = с_хг + с₀ = 0.

После подстановки (200) получим

или

(с_г — с₀) w + (с_г + с„) = 0.

Система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характеристи­ческого уравнения положительны:

^ci — ^со > °: с_х + с₀ > 0.

Исследуем устойчивость импульсной системы с передаточной функцией (197) (рис. 187). Характеристические уравнения этой системы

М (г) = z + (k₀T — 1); М (w) = w (2 — k_aT) + k₀T = 0. Отсюда получаем два условия устойчивости:

kj >0; Л„Т<2.

Второе условие раскрывает важное свойство изучаемого класса систем: устойчивость импульсной системы зависит не только от общего коэффициента передачи в разомкнутом состоянии k_v, как это имеет место и в непрерывных системах, но и от периода дискретности Т: чем больше Т, тем труднее обеспе­чить устойчивость системы при неизменном k_v.

Пример 10. Характеристическое уравнение импульсной системы второго порядка

М (z) = с₂г^г + с_хг + с₀ = 0.

После перехода к переменной w получаем

М (ш) = (с₂ — с_г + со) w² + (2с₂ — 2c_a)w + (с, + c_t + с_в) =0.

Система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:

^сг — ^ci + ^со > °". ^са — ^со > °; ^С2 + ^ci + ^со > °-

Эти три неравенства позволяют оценить устойчивость импульсной системы. Исследование устойчивости систем третьего и более высоких порядков производят с помощью критерия Гурвица.