Вопрос 2 Закон Видельмана- Франса
Закон Видемана-Франца (1853). Теплопроводность металлов.
Наиболее впечатляющим
успехом модели Друде явилось объяснение
эмпирического закона Видемана и Франца
(1853г.). Этот закон утверждает, что отношение
теплопроводности к электропроводности,
/
,
для большинства металлов прямо
пропорционально температуре, причем
коэффициент пропорциональности с
достаточной точностью одинаков для
всех металлов. Эта закономерность видна
из таблицы 1.2, где наряду с теплопроводностью
приведены экспериментальные значения
чисел Лоренца
/
Т.
Таблица 1.2. Экспериментальные значения коэффициента теплопроводности и числа Лоренца
В модели Друде предполагается, что основная часть теплового потока в металле переносится электронами проводимости (металлы проводят тепло лучше, чем диэлектрики!). В соответствии с законом Фурье поток тепла пропорционален (и противоположно направлен) градиенту температуры
Jq=
-
|
(1.7) |
T.Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом теплопроводности. Рассматривая одномерный случай с ниспадающим, для определенности, вдоль х распределением температуры получаем поток тепла
Jq
= (1/2)nvх[E(T[x-v
])
- E (T[x+v
])],
где
Е(x) - средняя энергия электронов в точке
x.
Если изменение температуры на расстоянии
длины свободного пробега
=
v
очень мало,
то
Jq = nvх2 dE/dT[-dT/dx].
Поскольку <vx2> = 1/3 v2 и ndE/dT = (N/V)dE/dT = (dU/dT)/V = Сv, где U - свободная энергия, Сv - электронная удельная теплоемкость, то имеем
Jq=1/3 v2 Cv (- Т) |
(1.8) |
или
= 1/3 v2 Cv = 1/3 vСv. |
(1.9) |
Поделив на выражение для электропроводности, получаем
/ = 1/3 Cvmv2/(ne2). |
(1.10) |
В рамках классического идеального газа Друде полагал 1/2 mv2 = 3/2 kBT и сv=3/2 nkB. Это дает
/ = 3/2 (kB/e2)2T. |
(1.11) |
Т.е., / Т зависит только от фундаментальных постоянных в полном соответствии с законом В-Ф. Величина /( Т) ~1·10-8 Вт Ом/К2 в двое меньше экспериментальных значений. [История: в первоначальном варианте Друде ошибся в два раза в электропроводности, поэтому найденное им значение /( Т) ~2.22 10-8 Вт Ом/К2, оказалось в превосходном согласии с экспериментом. Взаимная компенсация ошибок в cv и v2 примерно в 100 раз каждая.]
Билет 10
Вопрос 1Частные случаи общего уравнения переноса
Когда макросистема находится в равновесии, все ее тер-модинамические параметры постоянны по всему объему сис-темы. Если систему вывести из равновесия и предоставить самой себе, то она постепенно вернется в равновесное сос-тояние. При этом в системе будут протекать необратимые процессы, называемые процессами переноса. Различают нес-колько процессов переноса в зависимости от того, какие па-раметры системы были выведены из равновесия. Это – процессы переноса энергии, плотности и импульса, и свя-занные с ними явления теплопроводности, диффузии и вяз-кости. Процессы переноса возникают, когда имеется гради-ент какого-либо параметра макросистемы по всему объему макросистемы. При этом возникают потоки параметра в сто-рону уменьшения параметра.
Установление равновесия термодинамических систем происходит при помощи движения молекул. Это позволяет получить общее уравнение для всех явлений переноса.
Пусть имеется термодинамическая система с концен-трацией молекул, равной . Средняя скорость молекул . Движение молекул в такой системе будем считать полнос-тью хаотическим для того, чтобы не было направленных то-ков молекул и процессы переноса обусловливались только движением молекул. Возьмем некую площадку единич-ной площади. Определим плотность потока молекул, пере-секающих площадку в одном направлении. Пусть пло-щадка располагается перпендикулярно оси . Плотность потока молекул, пересекающих площадку в положитель-ном направлении оси будет
.
Этот поток и будет переносить физическую величину , выведенную из равновесия, в сторону уменьшения ее значе-ния. Плотность потока величины обозначим как . Предположим, что величина характеризует какое-то мо-лекулярное свойство одной молекулы, причем молекула об-ладала этим свойством на расстоянии свободного пробега от площадки . То есть последнее со-ударение молекула испытывала на расстоянии от площадки .
Пусть величина изменяется вдоль оси , т.е. имеет место градиент . Тогда возникает поток величины в сторону ее уменьшения (рис.2.1).
Тогда общее уравнение переноса для любой величины через площадку единичной площади, перпендикулярную на-правлению переноса, будет следующим:
, (2.2)
где – концентрация молекул,
– средняя скорость молекул,
– расстояние свободного пробега.
Значения этих величин берутся в сечении . Теперь на основе общего уравнения переноса получим уравнения для переноса массы, импульса и энергии.