Вопрос 1 Квантовая теория электропроводности металлов

 Квантовая теория электропроводности металлов. Квантовая статистика электронов в металле. Электрические свойства металлов определяются состоянием в них свободных электронов, однако учёные отказываются от модели идеального одноатомного газа. Основные положения квантовой теории электропроводности металлов:

          1) Все электроны неразличимы.

          2) Электроны обладают квантово-волновым дуализмом.

          3) Энергетическое состояние электрона определяется 4-мя квантовыми числами и подчиняется принципу Паули.

            Электроны проводимости в металле рассматривается как газ фермионов, подчиняющиёся квантовой статистике Ферми-Дирака:

(4)

– вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Е. В формулу входит постоянная Больцмана. В квантовой теории даже при 0°К электроны в металле не могут расположиться на самом низком энергетическом уровне. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх по дискретным энергетическим уровням. Графически функция распределения Ферми-Дирака приведена на рис. 2.

            При температуре 0°К в интервале энергий (0, Е_f) функция Ферми-Дирака f(E) = 1, а при Е = Е_f она скачкообразно падает до 0. Это означает, что при абсолютном нуле все нижние квантовые состояния Е = Е_f заполнены электронами, а все состояния с энергиями, больше Е_f, свободны. Следовательно Е_f  – энергия Ферми – максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при абсолютном нуле. Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Значение энергии Ферми в металлах составляет несколько электрон-вольт.

Для металлов с энергией больше 0°К часть свободных электронов может приобрести энергию Е > Е_f. Вероятность заполнения уровня Ферми становится равной ½. Средняя тепловая энергия по порядку величины равна kT. Для комнатной температуры она составляет 0,025 эВ, а для температуры 1000°К – 0,09 эВ. Следовательно, с повышением температуры тепловому возбуждению подвергаются электроны узкой полоски kT, непосредственно расположенной у уровня Ферми. Энергия электронов более глубоких уровней остаётся без изменений.

            Состояние электронного газа в металле, когда энергия не зависит от температуры называется вырожденным. Электронный газ остаётся в металле вырожденным до тех пор, пока любоё электрон не сможет обмениваться энергией с кристаллической решёткой. Это возможно при kT  > Е_f, откуда температура Ферми:

,

ниже которой газ не переходит из невырожденного состояния в вырожденное, также называется температурой вырождения. Для железа, например, энергия Ферми при абсолютном нуле составляет 5 эВ, тогда температура вырождения равна 60000°К. Значит при всех твёрдых состояниях металла его электронный газ вырожден.

Вопрос 2 Эффект Холла как метод исследования полупроводников

Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме параллелепипеда с концентрацией электронов n (концентрация дырок пренебрежимо мала). Через него течет электрический ток с плотностью j. Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитной индукции В перпендикулярен вектору j ( см. рис.1). На электроны, дрейфующие в электрическом поле Е со скоростью V будет действовать сила Лоренца F_L= -e [V, B]. Поэтому дрейф электронов будет иметь составляющую не только по оси «Х», но и по оси «Z». Это приведет к накоплению электронов на нижней грани образца, а на верхней будет их «дефицит»; в результате появится электрическое поле E_z, направленное вдоль оси «Z». Дрейф электронов вдоль оси «Z» будет до тех пор, пока возникшее электрическое поле не уравновесит силу Лоренца. В этой ситуации, очевидно, имеем:

e Ez = e < Vx >B . (1)

Так как мы рассматриваем движение электрона за время свободного пробега, то ясно, что V_x – величина переменная, и в (1) стоит средняя скорость дрейфа, определяемая средним по ансамблю электронов временем свободного пробега <  > ( средним временем релаксации). Поскольку

j_x= – en<V_x>, то E_z= –j_x B/en (2)

Рис.1. Направление векторов E, B, j, V_n, F_L в полупроводниковом образце n-типа при измерении эффекта Холла.

Величина Е_z называется полем Холла. Таким образом, электрическое поле ( для нашей ориентации векторов) имеет компоненты E_x и Е_z , следовательно полный вектор электрического поля

E = i E_x + k Е_z

не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда В = 0) между ними будет угол _H , получивший название «угол Холла». Для тангенса этого угла можно записать:

tg H = Еz / Ex или	(4)
tg H = -  B / (e n) = - n B .

На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля, а соответствующую разность потенциалов (между верхней и нижней гранями на рис.1), которая называется эдс Холла:

UH = Ez d = - jx B d / (e n )

(5)

Если выразить полный ток через плотность тока

I = jx a d , то UH = - I B / (e n a ) = RH I B / a ,

(6)

где R_H = - 1/ (e n ) - постоянная Холла.

В случае полупроводника р-типа проводимости в уравнении (1) следует изменить знак носителей заряда с «-е» на «+е». Тогда будем иметь:

Еz = jx B / (e p) = jx RH B ,
tg H =  B / (e p) = p B ,	(7)
UH = I B / (e p a ) = RH I B / a ,

где р - концентрация дырок, _p - их подвижность, R_H = 1/ (e p ) - постоянная Холла для дырочного полупроводника. Сопоставляя (6) и (7), можно видеть, что по знаку эдс Холла можно определить в эксперименте тип носителей заряда, а по величине R_H - их концентрацию. Кроме того, если возможно измерение и проводимости, и постоянной Холла, то по ним определяют подвижность носителей:

n(p) =  RH .

(8)

Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях:

m dVn/dt = -e E - e [Vn,B] – для электронов	(9)
m dVp/dt = e E + e [Vp,B] – для дырок.

Проинтегрировав уравнения (9), и используя соотношение для подвижности _n =e <  >/m_n , получим:

Vn = - nE - n2 [E , B],	(10)
Vp = pE + p2 [E , B].

Домножив первое уравнение на «en», а второе на «ep», получим уравнения для электронного и дырочного токов:

jn = ennE - enn2 [E , B],	(11)
jp = eppE + epp2 [E , B].

Таким образом, полный ток:

j = e (nn + pp) E + e (pp2 - nn2) [E , B],

(12)

или в скалярной форме:

jx = e (nn + pp) Ex + e (pp2 - nn2) Ez By = j,	(13)
jz = e (nn + pp) Ez + e (pp2 - nn2) Ex By = 0.

Поскольку магнитное поле слабое, то второе слагаемое в первом уравнении системы (13) много меньше первого. С учетом этого, решив систему (13) относительно E_z , получим:

Ez = RH j B,	(14)
RH = (1/e) (pp2 - nn2) / (nn + pp)2.

Из (14) видно, что при n>>p R_H = 1/ (en), а при p>>n R_H = 1/ (ep). В случае собственного полупроводника, где n = p = n_i ,

RH = (1/eni) (p - n) / (n + p) = (1/eni) (1 –b) / (1+ b),

(23)

где b = _n/_p. Согласно (23) R_H < 0 при b > 1 (т.е. _n> _p) и R_H > 0 при b < 1 (т.е. _n< _p).

Выше мы полагали, что все носители заряда имеют одно и то же время релаксации, иными словами - мы считали вероятность рассеяния независящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учете их распределения по энергии обычно выполняют с помощью кинетического уравнения Больцмана. Следствием рассмотрения эффекта Холла с помощью этого уравнения будет появление множителя r

r = < >/< > ,

в выражении для постоянной Холла:

RH = - r / (e n ) - для электронов,
RH = r / (e p ) - для дырок,	(15)
RH = (r/e) (pp2 - nn2) / (nn + pp)2 – для биполярной проводимости.

Здесь < > - среднее время релаксации, < > - средний квадрат времени релаксации.

Соответственно, все полученные выше формулы, где есть множители 1/ (e n ) или 1/ (e p ), верны с точностью до множителя r; в частности, для подвижности:

n = r  / (en ) = r n	(26)
p = r  / (ep ) = r p

Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла, называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r получил название фактора Холла.

Поскольку r определяется временем релаксации , то его величина будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки

r = 3/8 = 1.18, а при рассеянии на примесных ионах r = 315/512 = 1.93.

При низких температурах (для Ge T<250 K, для Si T<100 K) обычно доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких температурах (для Ge и Si – в том числе и при комнатной температуре) преобладает рассеяние на колебаниях решетки.

Как отмечалось выше, полученные нами результаты справедливы для случая “слабого” магнитного поля. Поскольку  = <  >/<V> , то соотношение между длиной свободного пробега <  > носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном поле можно заменить на следующее:

 << T=2 / c - для слабого поля,	(17)
 >> T=2 / c - для сильного поля,

где T-период вращения частицы, _c - циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по круговой траектории в магнитном поле с индукцией В). Известно, что _c= e B / m. Подставив _c в (16), получим

 c / 2 =  B / 2 << 1 - для слабого поля,
 c / 2 =  B / 2 >> 1 - для сильного поля,

Приведенное определение «сильного» и «слабого» полей является классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра электрона в магнитном поле (подробнее об этом см. [3, 4].

Рассматривая движение носителей заряда в классически сильном магнитном поле, можно показать[5], что в этом случае в кинетическом уравнении Больцмана вместо времени релаксации появляется «эффективное» время релаксации:

эф =  / (1 + 2 c2).

(20)

Отсюда видно, что в слабом поле _эф   , а в классически сильном поле _эф <<  и в первом приближении перестает зависеть от скорости движения носителя заряда, т.е. в классически сильном поле r = 1. Таким образом для постоянной Холла и холловской подвижности получается:

RH = - 1 / (e n ) , RH = 1 / (e p )
H =  .

Измерения эффекта Холла в классически сильных магнитных полях дают возможность определять фактор r; для этого берут отношение постоянных Холла R_H , полученные для одного и того же образца в слабом и сильном полях.

Билет 9