Экстремум функции двух переменных

Максимум или минимум функции называется её экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. , (необходимое условие экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума!

Пусть – стационарная точка функции . Обозначим , , , . Тогда

1. если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если , минимум, если ;

2. если , то в точке экстремума нет;

(достаточные условия наличия или отсутствия экстремума)

3. если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Условным экстремумом функции называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные и связаны уравнением (уравнение связи).

Условие определяет некоторую цилиндрическую поверхность в пространстве, которая пересекается с поверхностью по некоторой линии. Фактически необходимо исследовать на экстремум эту линию пересечения.

Укажем здесь два способа отыскания условного экстремума функции двух переменных.

I. Если уравнение связи записать в явном виде и подставить затем в уравнение , то останется лишь исследовать на экстремум полученную функцию одной независимой переменной.

II. Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа , где – множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этих трёх уравнений можно найти неизвестные , и .

Достаточные условия экстремума функции Лагранжа:

1. точка будет точкой условного максимума, если при ;

2. точка будет точкой условного минимума, если при .

Здесь , .

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1. найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2. найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

3. из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры решения задач

1. Исследовать на экстремум функцию:

а) ;

б) .

Решение.

а) Находим частные производные 1-го порядка: , . Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

откуда , .

Находим значения частных производных второго порядка в точке :

, , .

Тогда , . Следовательно, в точке заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке .

б) Определим стационарные точки:

Отсюда

Получили три стационарные точки: .

Вычислим вторые производные: , , .

Теперь для каждой из трёх точек определим :

1) : , т. е. точка не является точкой экстремума;

2) : , т. е. точка не является точкой экстремума;

3) : . При этом . Вывод: – точка локального минимума функции с .

2. Найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением .

Решение.

Из уравнения связи находим: . Тогда . Исследуем на экстремум эту функцию одной переменной: – критическая точка. Это точка максимума, т.к. в ней . При , , следовательно, в точке функция достигает наибольшего значения .

3. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение.

Пусть и – катеты треугольника, а – гипотенуза. Так как , то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции при условии, что и связаны уравнением , т.е. .

Из уравнения связи: . Тогда . Исследуем эту функцию на экстремум: – критическая точка. Это точка минимума, т.к. в ней .

При , . Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны между собой.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

Решение.

Здесь рассматривается область , ограниченная окружностью , включая и точки окружности.

Найдём стационарные точки данной функции. Так как , , то в силу необходимых условий экстремума получаем: .

Нетрудно видеть, что в точке функция принимает наименьшее значение , причём указанная точка является внутренней точкой области .

Исследуем на условный экстремум функцию , если и связаны соотношением .

Рассмотрим функцию . Для определения , и получаем систему уравнений:

Эта система имеет два решения: (при этом ) и (при этом ). Значит, наибольшее значение функция принимает в точке . Итак, , .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти экстремумы функций:

а) . Ответ: .

б) . Ответ: .

в) . Ответ: .

в) . Ответ: в точке .

2. Найти экстремум функции , если и связаны уравнением .

Ответ: в точке .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) в квадрате, ограниченном прямыми .

Ответ: .

б) в круге .

Ответ: .

в) в треугольнике, ограниченном прямыми , .

Ответ: .

г) в области , .

Ответ: .

4. Из всех прямоугольников с заданной площадью найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.

Ответ: квадрат; .

5. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при данной полной поверхности максимальный объём.

Ответ: куб; .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 12