Примеры решения задач
1.
Найти интегралы, используя подходящую
подстановку: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решение.
а)
.
Этот интеграл был вычислен нами ранее (см. занятие 1, 3б). Вообще, все интегралы, вычисляемые с помощью приёма подведения под знак дифференциала, могут быть найдены также и методом замены переменной.
б)
.
в)
.
г)
.
д)
.
е)
.
ж)
.
з)
.
2.
Найти интегралы, используя интегрирование
по частям: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Решение.
а)
б)
.
в)
.
г)
.
Для
интеграла
снова применим метод интегрирования
по частям:
Тогда
.
д)
.
Создаётся впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем, однако, ещё раз проинтегрировать по частям:
,
т.
е.
.
Таким
образом, приходим к уравнению относительно
неизвестной величины
:
,
откуда следует, что
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы, используя подходящую подстановку:
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
.
3.
Ответ:
.
4.
Ответ:
.
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
.
7.
Ответ:
.
8.
Ответ:
.
9.
Ответ:
.
10.
Ответ:
.
11.
Ответ:
.
12.
Ответ:
.
Найти интегралы, используя интегрирование по частям:
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
.
3.
Ответ:
.
4.
Ответ:
.
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
7.
Ответ:
.
8.
Ответ:
.
9.
Ответ:
.
10.
Ответ:
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной
дробью
называется дробь вида
,
где
и
– многочлены. Рациональная дробь
называется правильной,
если степень многочлена
ниже степени многочлена
;
в противном случае дробь называется
неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
I. 
;
II. 
,
где
– целое число, большее единицы;
III. 
,
где
,
т. е. квадратный трёхчлен в знаменателе
не имеет действительных корней;
IV. 
,
где
– целое число, большее единицы и
квадратный трёхчлен в знаменателе не
имеет действительных корней;
Во
всех четырёх случаях предполагается,
что
– действительные числа.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей:
I.
;
II.
;
III. Выделяем полный квадрат в знаменателе и делаем соответствующую подстановку:
(здесь
).
IV. Аналогично,
Здесь
,
а интеграл
вычисляется с помощью рекуррентной
формулы
,
позволяющей
после
-
кратного применения свести данный
интеграл
к табличному
.
В общем случае, перед интегрированием рациональной дроби надо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неё целую часть, т. е. представить в виде
,
где
– многочлен, а
– правильная рациональная дробь;
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
,
где
,
т. е. квадратный трёхчлен
не имеет действительных корней;
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
;
4)
вычислить неопределённые коэффициенты
,
,
для чего привести последнее равенство
к общему знаменателю, приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой частях полученного
тождества и решить систему линейных
уравнений относительно искомых
коэффициентов. Можно определить
коэффициенты и другим способом, придавая
в полученном тождестве переменной
произвольные числовые значения. Часто
бывает полезно комбинировать оба способа
вычисления коэффициентов.
В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.