Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные и сводящиеся к однородным уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют следующий вид:

.

Здесь коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от переменных и . Данное уравнение приводим к уравнению с разделенными переменными путем деления на и затем интегрируем. Получаем ответ в виде общего интеграла

,

где – произвольное постоянное число.

Заметим, что при делении можно потерять частные решения, обращающие в нуль произведение . В этом случае, если одно или оба уравнения и имеют решения и , то равенства и нужно присоединить к ответу.

Уравнение вида , где , приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены , отсюда . Здесь – новая неизвестная функция.

Однородное уравнение может быть записано в виде

.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены , отсюда , следовательно, .

Уравнения вида

,

приводятся к однородным уравнениям.

Если , то делаем замену и , где и – новые переменные, а числа и находим из системы уравнений:

Если , , то в этом случае делаем замену , следовательно, .

Примеры решения задач

1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Общее решение находится следующим образом:

.

Семейством интегральных кривых данного уравнения является семейство парабол.

2. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Так как , найдем . Это общее решение данного уравнения. Теперь подставим в общее решение , . Получим уравнение относительно неизвестной постоянной : , отсюда . Таким образом, частное решение данного уравнения: .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Правая часть заданного уравнения определена, непрерывна в интервале (-1, 1), причем обращается в нуль на концах этого интервала. Разделяем переменные и интегрируем:

,

отсюда общее решение уравнения имеет вид: . Из равенства находим решения , которые являются особыми.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Сделаем подстановку , тогда . Решаем полученное уравнение:

, , – ctg .

Следовательно, общим интегралом данного уравнения будет

x + ctg .

5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Перепишем уравнение: . Разделяем переменные и представляем уравнение в виде

.

Интегрируем данное равенство:

, ,

следовательно, , или .

Отметим, так как c является произвольным постоянным числом, то иногда для упрощения записи ответа, вместо c записывают какую-нибудь функцию от нее, например, .

6. Найти частное решение дифференциального уравнения

, .

Решение. Разделив переменные, получим . Интегрируя, найдем , или . Решение является частным решением заданного уравнения. Используя начальное условие , найдем . Ответ запишется в виде .

7. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

.

Оно является однородным. Сделав подстановку и , получим уравнение на неизвестную функцию :

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

,

отсюда

, ,

или . Возвращаясь к прежней переменной, найдем общее решение:

.

Если , то , или . Это решение является особым вместе с решением , .

8. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Запишем уравнение в виде

.

Поделим числитель и знаменатель правой части равенства на :

.

Видно, что это однородное уравнение. Сделав замену , получим

.

После несложных преобразований найдем . Разделив переменные, получим следующие интегралы:

.

Отсюда или, вернувшись к функции , запишем ответ в виде общего интеграла:

.

Особыми решениями являются , и , .

9. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение сводится к однородному уравнению, причем . В нашем случае система уравнений на числа и имеет вид:

Решив ее, найдем , . Подставив и в заданное уравнение, получим однородное уравнение

,

которое можно также переписать в виде , или

.

Сделав замену , получим

.

Разделяя переменные и интегрируя, находим .

Вернувшись к старым переменным по формулам и , получим общий интеграл исходного уравнения: .

Особых решений нет.

10. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Определитель . Таким образом, делаем замену , отсюда . Перепишем заданное уравнение в виде

.

Сделав подстановку , получим уравнение с разделяющимися переменными:

.

После преобразований получим следующие интегралы:

, или .

Вычислив их и вернувшись к прежней функции, найдем ответ:

.