Несобственные интегралы
Несобственными называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
Несобственные интегралы 1-го рода определяются следующим образом:
;
;
,
где
– произвольное число.
Эти интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы в правых частях равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то соответствующие интегралы называются расходящимися.
Несобственные интегралы 2-го рода определяются следующим образом:
,
если функция
имеет бесконечный разрыв при
;
,
если функция
имеет бесконечный разрыв при
;
,
если функция
имеет бесконечный разрыв в точке
,
.
Критерии
сходимости
формулируются для интегралов вида
;
для других несобственных интегралов
справедливы аналогичные утверждения.
1.
Если на промежутке
функции
и
удовлетворяют условию
,
то из сходимости интеграла
следует сходимость интеграла
,
а из расходимости
– расходимость
.
2.
Если функции
и
неотрицательны и существует предел
,
,
то интегралы
и
одновременно оба сходятся или оба
расходятся.
В
качестве функции
сравнения
в случае
особенно удобно использовать функцию
(
),
а в случае интеграла
от неограниченной в окрестности точки
функции – функцию
.
Можно показать (см. лекции!), что интеграл
сходится при
и расходится при
,
а интеграл
(как и интеграл
)
сходится при
и расходится при
.
Примеры решения задач
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Такой предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.
б)
,
т. е. несобственный интеграл сходится и его значение равно 1.
в) Подынтегральная функция – чётная, поэтому
то
есть интеграл сходится и его значение
равно
.
2.
Исследовать на сходимость интегралы:
а)
;
б)
.
Решение.
а)
Здесь
при
,
при этом
.
Но интеграл
расходится (
).
Поэтому, согласно признаку сравнения
1, интеграл
расходится.
б)
Здесь
при
.
Рассмотрим функцию
,
интеграл от которой
сходится (
).
А так как существует предел
,
то интеграл
также сходится (признак сравнения 2).
3.
Вычислить несобственные интегралы или
установить их расходимость: а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Подынтегральная функция
в точке
неограниченна, поэтому
,
т. е. несобственный интеграл расходится.
б) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому
,
т. е. интеграл сходится и его значение равно .
в) Подынтегральная функция терпит разрыв при . Поэтому
,
т. е. интеграл сходится.
4.
Исследовать на сходимость интегралы:
а)
;
б)
.
Решение.
а)
Подынтегральная функция
при
и неограниченна в точке
,
при этом
.
Но интеграл
сходится (
).
Поэтому, согласно признаку сравнения
1, интеграл
также сходится.
б)
Функция
терпит бесконечный разрыв в точке
.
Перепишем её в виде
и сравним с функцией
.
Интеграл
сходится (
).
Так как
,
то, согласно предельному признаку сравнения 2, интеграл также сходится.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
.
3.
Ответ:
расходится.
4.
Ответ:
расходится.
5.
Ответ:
.
6.
Ответ:
расходится.
7.
Ответ:
.
8.
Ответ:
расходится.
9.
Ответ:
.
10.
Ответ:
.
Исследовать на сходимость интегралы:
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
расходится.
3.
Ответ:
.
4.
Ответ:
сходится.
5.
Ответ:
сходится.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8