Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удаётся рационализировать либо существенно упростить. Рассмотрим некоторые наиболее типичные случаи.

1. Интегралы вида , где – рациональная функция (функция с переменными и , над которыми выполняются рациональные действия – сложение, вычитание, умножение и деление), приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью т. н. универсальной тригонометрической подстановки . При этом

,

т. е. .

Хотя универсальная подстановка позволяет найти любой интеграл вида , однако в большинстве случаев она приводит к чересчур громоздким вычислениям, и тогда удобнее пользоваться другими, более эффективными подстановками. Тем не менее, некоторые интегралы наиболее быстро считаются именно с помощью этой подстановки. В частности, это относится к интегралам вида , где или не равны нулю.

2. Интегралы вида , где – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью подстановки . При этом

,

т. е. .

3. Интегралы вида и , где – некоторая (не обязательно рациональная!) функция, вычисляются с помощью подстановок и соответственно. При этом

,

.

4. Интегралы вида .

Выделим здесь два важных случая.

а) Если среди и есть нечётное число, то интеграл приводится к одному из указанных в п. 3, например, если , то

.

б) Если оба числа и – чётные, то следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

.

5. Интегралы типа , , вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

,

,

.

Примеры решения задач

1. Найти интеграл .

Решение.

Воспользуемся универсальной подстановкой (случай 1):

2. Найти интеграл

Решение.

Это интеграл вида 2. Применим подстановку . Тогда

3. Найти интегралы: а) ; б) .

Решение:

Оба интеграла приводятся к виду 3.

а)

.

б)

.

4. Найти интегралы: а) ; б) .

Решение.

Это интегралы типа 4.

а)

.

б)

.

5. Найти интеграл .

Решение.

Это интеграл типа 5.

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5

Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

1. Интегралы типа , где – рациональная функция, – действительные числа, – натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной дроби путём подстановки , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей .

2. Интегралы вида , , приводятся к интегралам от рациональной относительно и функции с помощью следующих тригонометрических подстановок: для первого интеграла, для второго интеграла, для третьего интеграла.

3. Интегралы типа можно найти, если выделить под корнем полный квадрат:

и сделать подстановку . При этом интегралы приводятся к рассмотренным в п. 2.

4. Интегралы от дифференциальных биномов , где – действительные, а – рациональные числа выражаются через элементарные функции только в трёх случаях:

1. – целое число; данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей и ;

2. – целое число; интеграл рационализируется с помощью подстановки , где – знаменатель дроби ;

3. – целое число; подстановка , где – знаменатель дроби .