Частные производные первого и высшего порядков. Дифференциал функции нескольких переменных.

Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном .

Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном .

Для частных производных справедливы обычные формулы и правила дифференцирования.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

; ;

; .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:

; и т. д.

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например, .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

.

При достаточно малых и для дифференцируемой функции справедливы приближённые равенства

и ,

где – приращение функции, а дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. и .

Аналогично определяется полный дифференциал функции трёх и более аргументов, например, для функции

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от её полного дифференциала, т. е. .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: , …, .

Если и – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

;

.

Вообще, имеет место формула

,

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Примеры решения задач

1. Найти частные производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Рассматривая как постоянную величину, получим: . Рассматривая как постоянную, найдём: .

б) ;

.

в) ; .

2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение.

Находим

; .

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

.

Получаем тождество, т. е. функция удовлетворяет данному уравнению.

3. Найти полный дифференциал функции: а) ; б)  .

Решение.

а) Найдём частные производные:

, .

Следовательно, .

б) Имеем , где

; ; .

Следовательно,

.

4. Вычислить приближённо , исходя из значения функции при , .

Решение.

Значение функции при , есть . Найдём приращение функции при , :

.

Следовательно, .

5. Для функции найти все частные производные второго порядка.

Решение.

Найдём частные производные первого порядка: , .

Дифференцируя повторно, получим:

; ;

.

6. Найти для функции .

Решение.

; ;

; ; ;

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти частные производные данных функций:

а)

Ответ: .

б)

Ответ:

в)

Ответ: ,

.

г)

Ответ: , ,

.

2. Вычислить приближённо:

а) Ответ: .

б) Ответ: .

в) Ответ: .

3. Для данных функций найти требуемую частную производную:

а) , . Ответ: .

б) , . Ответ: .

в) , . Ответ: .

г) , . Ответ: .

д) , . Ответ: .

е) , Ответ: .

4. Найти и от следующих функций:

а) .

Ответ:

б)

Ответ: .

в)

Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10