Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть
,
где
,
,
причём функции
,
,
дифференцируемы. Тогда производная
сложной функции
вычисляется по формуле
. (1)
Если
,
где
,
то полная
производная
от
по
находится по формуле
. (2)
Если
же
,
где
,
,
то частные производные выражаются так:
и
. (3)
Производная
неявной функции
,
заданной с помощью уравнения
,
где
– дифференцируемая функция переменных
и
,
может быть вычислена по формуле
при
условии
.
Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .
Аналогично,
частные производные неявной функции
двух переменных
,
заданной с помощью уравнения
,
где
– дифференцируемая функция переменных
,
и
,
могут быть вычислены по формулам
и
при условии
.
Если
поверхность задана уравнением
и в точке
частные производные
,
,
конечны и не обращаются в нуль одновременно,
то уравнение
касательной плоскости
к поверхности в точке
записывается в виде
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде
.
Если
же уравнение поверхности задано явным
образом:
и в точке
частные производные
,
конечны (и могут быть равны нулю
одновременно), то уравнение касательной
плоскости в точке
записывается в виде
,
а уравнение нормали – в виде
.
Равенство
нулю, например
,
означает, что касательная плоскость
параллельна оси
,
а нормаль лежит в плоскости
.
Примеры решения задач
Найти
,
если
а)
,
и
,
;
б)
,
где
,
.
Решение.
а)
Здесь
,
,
,
.
Тогда по формуле (1) находим:
.
б)
В этом примере подстановка
и
в
упрощает функцию
:
.
Очевидно,
.
Найти
и
для функции
,
где
.
Решение.
Имеем:
.
Используя формулу полной производной
(2), находим:
.
Найти
и
,
если
,
,
.
Решение.
Используем формулы (3), учитывая, что здесь независимыми являются переменные и :
;
.
Найти производную
неявной функции, заданной уравнением
.
Решение.
Здесь
.
Имеем:
,
.
Следовательно,
.
Найти производные и
неявной функции, заданной уравнением
.
Решение.
Здесь
.
Имеем:
,
,
откуда
.
Найдём
вторую производную:
.
Найти производные и
неявной функции, заданной уравнением
.
Решение.
Здесь
.
Находим:
,
,
.
Тогда
;
.
Найти дифференциал неявной функции, заданной уравнением
.
Решение.
Здесь
.
Как известно,
,
поэтому найдём сначала
и
:
;
.
Следовательно,
.
Дана поверхность
.
Составить уравнение касательной
плоскости и уравнения нормали к
поверхности в точке
.
Решение.
Найдём
частные производные
и
,
и их значения в точке
:
,
.
Тогда уравнение касательной плоскости
будет иметь вид:
или
.
Уравнение
нормали:
.
К поверхности
провести касательные плоскости,
параллельные плоскости
.
Решение.
Здесь
.
Найдём частные производные:
,
,
.
Из условия параллельности касательной
плоскости и данной плоскости следует,
что
,
или
.
Присоединив к этим уравнениям уравнение
поверхности
,
найдём координаты точек касания:
и
.
Следовательно, уравнения касательных
плоскостей имеют вид:
,
т.
е.
и
.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Найти
,
если
:
а)
. Ответ:
б)
. Ответ:
.
2.
Найти
и
:
а)
,
где
.
Ответ:
.
б)
,
где
.
Ответ:
.
3.
Для данных
найти
,
и
:
а)
,
где
.
Ответ:
.
б)
,
где
.
Ответ:
.
в)
,
где
Ответ:
.
4.
Найти производные
неявных функций, заданных уравнениями:
а)
. Ответ:
.
б)
. Ответ:
.
5.
Найти производные
и
для
неявных функций
,
определяемых
следующими уравнениями:
а)
. Ответ:
.
б)
. Ответ:
.
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
а)
в точке
.
Ответ:
.
б)
в точке
.
Ответ:
.
в)
в точке
.
Ответ:
.
7.
Составить уравнения касательных
плоскостей к поверхности
,
параллельных плоскости
.
Ответ:
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11