Г л а в а 7.Удар воздуха о торец пластины § 1.Основные соотношения

Что такое удар и присоединенная масса?

Применительно к воздействию тела на газ, сжимаемую или несжимаемую жидкость удар ― это быстрое (внезапное) приведение среды в движение. Для определения условий возникновения режима течения, соответствующих удару, необходимо сравнить характерное время выравнивания давления около поверхности тела при внезапном изменении скорости (t) и время приведения в движение ударника (среды) (τ).

Для (t) можно привести оценку [6]:

t = L/a, (7.1)

где L ― характерный размер ударника (радиус тела), а ― скорость звука. Условие возникновения течения, соответствующее удару, определяется неравенством τ<<t.

В зависимости от направления движения ударника (навстречу жидкости или в противоположную сторону) различают два режима движения, сопровождающихся возникновением в первом случае волны сжатия и во втором ― волны разрежения. При этом волны сжатия и разрежения движутся со скоростью звука.

При ударе среды (газа или жидкости) о тело (как впрочем при любом ускоренном движении тела в жидкости) по сравнению с обычными силами гидродинамического сопротивления возникают дополнительные силы, вызванные инерцией окружающей тело среды. Эта сила, как и любая другая, связанная с ускоренным движением, подчиняется закону Ньютона, т. е. пропорциональна ускорению и массе, участвующей в движении.

Какая же масса участвует в движении, когда тело движется в среде с ускорением? Тело, в данном случае ударник, приводит в движение всю окружающую массу жидкости (газа). При этом близлежащие слои движутся со скоростью самого тела, а более удаленные вовлекаются в движение в меньшей степени. И только бесконечно удаленные от тела частицы жидкости остаются неподвижными.

Для количественного описания таких движений вводится понятие присоединенной массы, представляющей собой некую фиктивную массу, которая будучи добавлена к массе тела, заменяет инерционное воздействие всей жидкости (газа). Особенностью присоединенной массы является то, что она зависит не только от геометрии тела, но и от направления его движения. В общем случае вычисление присоединенной массы представляет собой довольно сложную задачу математической физики [8]. При ударном нагружении характерное время формирования присоединенной массы соответствует времени распространения звуковой волны около тела [6]. При движении тела с ускорением она меняется все время, пока есть ускорение. После формирования присоединенная масса как бы движется вместе с телом изменяя его форму.

В качестве основной учебной задачи ниже рассматривается режим слабого удара воздуха о торец пластины, т. е. случай, когда скорость тела (ударника) или среды много меньше скорости звука в воздухе.

Слабый удар

Для рассмотрения процессов при внезапном приведении тела (ударника) в движение рассмотрим схему описания процесса. На схеме стрелками сверху представлены значения скоростей в системе координат, связанной с волной (скачком) давления, образовавшейся при внезапном изменении скорости. Стрелками снизу обозначены скорости в системе координат, связанной с неподвижным воздухом перед движущимся телом.

Для того чтобы записать уравнения, описывающие рассматриваемую задачу, выберем систему координат, в которой образующаяся слабая ударная (звуковая) волна будет покоиться. В рассматриваемом режиме (слабый удар) скорость волны давления можно считать равной скорости звука (а), u ― приращение скорости при ударе.

Рис. 2.17. Схема описания слабого удара

От системы координат, связанной с воздухом, перейдем к системе координат, связанной с волной (верхние обозначения). В этом случае можно рассматривать задачу как одномерную стационарную до тех пор, пока не возникнут краевые эффекты.

Начальную фазу движения можно считать одномерной и нестационарной. Изменение давления для нее получается из второго закона Ньютона

Заменим выражения силы F, массы m и ускорения выражениями для движения газа:

; ;

где S ― единичная площадь; тогда получаем

. (7.2)

Для перехода от бесконечно малых приращений (dP, du) к конечным малым изменениям (∆P, ∆ρ), нужно воспользоваться тем что мы рассматриваем слабый удар, т. е. изменения скорости много меньше скорости звука. В этом приближении можно считать скорость воздуха, набегающего на волну давления, равной скорости звука, т. е. в выражении (7.2) можно считать u = a = const, так же как и плотность ρ. Получаем

. (7.3)

Общий случай и линеаризация

В том случае, если изменения скорости нельзя считать очень малыми, задачу об ударе можно решить в общем виде, рассмотрев отражение ударной волны от тела. Решение для слабого удара можно получить линеаризацией общего решения.

Рассмотрим покоящееся тело, на которое набегает ударная волна; будем называть набегающую на тело ударную волну падающей, а отраженную от тела ударную волну ― отраженной.

Рис. 2.18. Схема описания удара

На рисунке числа Маха падающей и отраженной ударных волн обозначены M_S и M_R соответственно; u₅ ― скорость за отраженной ударной волной, равная нулю; u ― скорость перед падающей ударной волной, также равная нулю; u₂ ― скорость за падающей ударной волной.

Для падающей и отраженной ударных волн существуют следующие выражения, получаемые из уравнений сохранения [6], см. также раздел 3, глава 2 данного пособия.

(7.4)

― отношение давлений на падающей ударной волне; ― отношение давлений на отраженной ударной волне.

Уравнения (7.4) позволяют получить соотношения для отношения давлений на отраженной волне через параметры набегающего потока (или за падающей ударной волной), соответствующие параметрам после удара или внезапного приведения среды в движение. В системе уравнений (7.4) мы исключаем падающую ударную волну, т. е. параметры с индексами «₁»и «_S». Остаются давление и число М₂ приведенного в движение потока:

. (7.5)

Выражение (7.5) связывает число М₂ приведенного в движение потока с отношением давлений на ударной волне, отражающейся от тела. Если считать в (7.5) число М₂ много меньшим единицы, то получим:

Поскольку a₂ мало отличается от начальной скорости звука a; u₂ ― есть изменение скорости ∆u, то получаем выражение (7.3) по модулю. Определить давление для установившегося потока по прошествии удара можно по уравнению Бернулли, являющимся интегралом (7.2) для случая постоянной плотности:

. (7.6)

Отношение пикового значения изменения давления (ΔP) и установившегося изменения давления (ΔP₁) (выражения (7.3) и (7.6)):

. (Г л а в а 7..7)

Для скорости 10 м/с отношение изменений давлений составляет 66 раз, а для скорости 1 м/с составляет 660 раз. Формулы (7.3), (7.6) и (7.7) вполне пригодны и для оценки давления при ударе о воду, при этом скорость звука должна быть принята a = 1500 м/с. Давление при ударе в воде (о воду) в 4500 раз выше, чем в воздухе и составляет 15 атмосфер при скорости удара 1 м/с.