§ 1.Основные соотношения

Уравнения, описывающие изменения параметров в ударной волне, имеются в большинстве учебников по МЖГ, например [3, 4, 6, 8]. В пособии приводится краткий вывод уравнений импульсов и энергии.

Уравнение импульсов для стационарного течения

В случае движения ударной волны в канале уравнения удобно записывать в системе координат, в которой ударная волна покоится. В этом случае течение можно считать стационарным. Уравнение импульсов получается из второго закона Ньютона F = m

Выразим силу и массу через давление, плотность и единичную площадь:

; ; . (2.1)

Тогда уравнение движения запишется в виде

. (2.2)

В канале постоянного сечения произведение плотности на скорость постоянно, поэтому получаем следующий интеграл уравнения импульсов для прямой ударной волны:

(2.3)

Уравнение энергии

В отсутствие внешних и химических источников тепла с использованием уравнения импульсов получаем из первого начала термодинамики:

, (2.4)

(2.5)

где E ― внутренняя энергия, h ― энтальпия. Интегририруя (2.5), получим

const. (2.6)

Уравнение (2.6) описывает адиабатический процесс (в том числе и необратимый). Уравнение энергии можно также записать с использованием второго начала термодинамики:

(2.7)

где S и Т соответственно энтропия и абсолютная температура.

Уравнения сохранения для ударной волны

Из уравнений (2.3) ― (2.7) можно получить соотношения для прямой ударной волны. Обозначим индексом «₁» параметры до ударной волны, а индексом «₂» параметры за ударной волной. Тогда в системе координат, связанной с ударной волной, получаются следующие выражения, представляющие собой уравнения сохранения:

, (2.8)

, (2.9)

. (2.10)

Эти соотношения необходимо дополнить уравнением состояния, которое в данном случае будем рассматривать в виде уравнения для идеального газа:

(2.11)

Решение системы уравнений (2.8) – (2.10) приводит к следующему известному под названием адиабата Гюгонио соотношению для прямой ударной волны:

. (2.12)

Здесь V ― удельный объем. Соотношение (2.12) можно переписать через число M₁ набегающего потока и соответственно для отношения плотностей «после» и «до» ударной волны:

, (2.13)

. (2.14)

Отметим, что представление соотношения параметров на ударной волне через удельный объем (например, формула (2.12)), полезно для анализа так называемых PV-диаграмм; что касается расчетов, то удобнее пользоваться соотношениями, выраженными через плотность (формула (2.14)).

Полезно привести также уравнения сохранения для газа, покоящегося перед ударной волной:

₁U_s = ₂(U_s – U₂), (2.15)

P₁ + ₁U_s² = P₂ + ₂ (U_s – U₂)² , (2.16)

h₁ + U_s²/2 = h₂ + (U_s – U₂)²/2. (2.17)

Для скорости газа за ударной волной имеем выражение

, (2.18)

индекс “₁” относится к параметрам перед ударной волной, индекс“₂” относится к параметрам за ударной волной, индекс “_s” относится к фронту ударной волны. , P, U, h, a, M – плотность, давление, скорость, энтальпия, скорость звука, число М соответственно.