Сравнение с теорией параметров расчета при течении с подводом тепла
Параметр |
М набегаю-щего потока |
М в конце зонытепловыделения |
Отношение давлений на ударной волне |
Расход в конце зоны тепловыде-ления |
Тепловыделение, дж/кг |
Теория |
3.012 |
|
|
|
|
Вариант 1 |
3.012 |
|
|
|
|
Вариант 2 |
3.012 |
|
|
|
|
Заключение
В настоящем пособии описаны математические модели и численные методы, используемые в учебных версиях ППП Flow Vision и Gas Dynamics Tool. Предложены рекомендации студентам по решению классических задач, связанных с изучением газо- и гидродинамических явлений.
Описанные рекомендации и задания обладают достаточной универсальностью, чтобы применяться к широкому кругу учебных дисциплин многих вузов — от фундаментальной гидродинамики, где основной упор делается на теоремы, до чисто прикладных — гидравлики и газодинамики, где рассматриваются готовые решения задач и эмпирические правила расчетов практически значимых величин.
Пособие позволяет в более короткие сроки освоить программные пакеты и использовать их не только в образовательных целях, но и для выполнения научно-исследовательских работ.
В целом, основываясь на опыте внедрения методики в МФТИ, мы надеемся на ее использование и в других вузах. Как показал опыт, методика полезна не только для будущих специалистов в области МЖГ, но и для других естественнонаучных специальностей.
Просьба к читателям присылать отзывы, предложения, замечания, по адресу: г. Долгопрудный Московской области, Институтский переулок д. 9, МФТИ, кафедра прикладной механики, mberez@newmail.ru. Все предложения будут непременно учтены в последующих изданиях.
Приложение применение теории функций комплексной переменной к решению задачи обтекания идеальной несжимаемой жидкостью эллиптического цилиндра и пластины
Задача обтекания произвольного контура плоским стационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости успешно решается с помощью методов теории функций комплексного переменного, который получил название метода конформного отображения. Этот метод позволяет решить задачу о плоском обтекании произвольного контура на основании решения об обтекании кругового цилиндра, если известно конформное отображение внешности этого контура на внешность круга.
Рис. П.1. Обтекание эллиптического цилиндра
Условие задачи. Стационарный поток идеальной несжимаемой жидкости обтекает эллиптический цилиндр (с полуосями a и b), большая полуось которого находится под заданным углом атаки (α) к направлению потока; скорость жидкости на бесконечно большом расстоянии от цилиндра ― V∞ (рис. П.1.). Важным предельным случаем является обтекание пластины (эллиптический цилиндр с b = 0).
Обтекание пластины
В плоскости z = 0 имеем отрезок [–a, a] , на который под углом набегает поток, скорость на бесконечности которого равна V∞ (рис. П.2) [10].
Рис. П.2. Обтекание пластины
Предположим, что решение задачи об обтекании кругового цилиндра известно. Конформное преобразование внешности круга единичного радиуса во вспомогательной плоскости ζ на внешность замкнутого профиля в плоскости течения z (в данном случае отрезка пластины [–a, a]) осуществляется с помощью преобразования Жуковского:
.
(П.1)
В плоскости
на
окружности R = 1,
Поэтому из (П.1) получим
z = x + iy =
,
(П.2)
где x = acos
y = 0,
так, что полному обходу окружности
(0
≤ θ ≤
2π)
соответствует двойной обход
отрезка [–a, a].
Из (П.1) получим обратное преобразование:
,
(П.3)
откуда
.
(П.4)
Чтобы преобразование (П.4.) переводило внешность отрезка [–a, a] на внешность круга, перед корнем выбираем знак +:
=F(z).
(П.5)
Выражение для комплексного потенциала циркуляционного обте- кания кругового цилиндра в плоскости ζ имеет вид
,
(П.6)
где
;
;
,
а Г ― заданная циркуляция по замкнутому контуру.
При существовании преобразования для произвольного контура ζ = F(z) выражение для комплексного потенциала обтекания эллипса в плоскости физических переменных z имеет вид
.
(П.7)
Для частного случая обтекания пластины (отрезка [–a, a]) выражение для соответствующего комплексного потенциала получается подстановкой выражения (П.5.) в формулу (П.6.):
(П.8)
Вычисляя скорость из (П.8.), можно получить
,
(П.9)
где u∞ и v∞ ― проекции V∞ на оси x и у.
Из (П.9) видно, что при произвольной величине циркуляции Г и z = ±a скорость имеет бесконечные значения, что соответствует обтеканию острых передней и задней кромок. Подчиняя величину Г условию конечности скорости на задней кромке (z=a), как того требует постулат Чаплыгина–Жуковского (пластинка как модель закругленного спереди тонкого профиля с задней острой кромкой), из (П.9) получим
(П.10)
Поэтому в соответствии с (П.8) выражение для комплексного потенциала обтекания пластины примет вид
(П.11)
По определению сила давления потока (сопряженная) на профиль равна
.
(П.12)
Сила, действующая на пластину:
,
(П.13)
,
(П.14)
.
(П.15)
Важно подчеркнуть, что несмотря на то, что при обтекании контура (пластины) идеальной жидкостью все элементарные напряжения нормальны к пластинке, в данном случае возникает отличная от нуля сила Rx , направленная по касательной к ней. Это связано с тем, что постулат Чаплыгина–Жуковского накладывает ограничение на величину скорости лишь у задней острой кромки. Если представить себе переднюю кромку закругленной, имеющей малый радиус кривизны, то скорости вблизи носовой части будут очень велики, а давление согласно уравнению Бернулли мало. Образующаяся разность давлений между кормовой и носовой частью профиля приводит к появлению некоторой подсасывающей силы параллельной оси x. Если радиус закругления устремить к нулю, то скорость вблизи передней кромки будет неограниченно возрастать а давление падать. Непосредственными результатами вычислений можно убедиться, что подсасывающая сила будет стремиться к некоторой предельной величине, совпадающей с Rx.
Поэтому подъемная сила, называемая силой Жуковского, имеет вид
,
(П.16)
а коэффициент подъемной силы соответственно
,
(П.17)
где
.
Поэтому
,
а при малых
По определению момент сил, действующих на контур:
.
(П.18)
Подставляя в (П.18) выражение (П.11) для пластины, получим
,
(П.19)
или
.
Распределение скорости на пластине можно найти из (П. 11):
V=
,
,
V=
.
Значениям
[0,
]
соответствует верхняя сторона пластины,
а [0, ] ― нижняя сторона пластины.
― на
задней кромке.
Эксперимент показывает, что результаты, полученные при рассмотрении обтекания пластины, могут быть использованы для тонких профилей при малых углах атаки.
Обтекание эллиптического цилиндра
Рассмотрим при тех же условиях, что и в предыдущей задаче, обтекание эллиптического цилиндра с полуосями а и b [8].
Введем преобразование Жуковского в виде (П. 1).
а) б)
Рис. П.3. а) обтекание
эллипса в плоскости z;
б) обтекание круга в плоскости
Подберем постоянную с так, чтобы данное выражение преобразовывало плоскость вне круга радиуса R в область вне эллипса.
На
окружности
,
.
Отображение окружности на эллипс с заданными полуосями возможно, если положить
,
преобразование Жуковского теперь запишется в виде
,
Комплексный потенциал обтекания эллиптического цилиндра:
Момент сил, действующий на эллиптический цилиндр:
.