5.10.1. Распределение Вейбулла

Вейбулловское распределение (ВР) – термин гостированный. По Колмогоровской классификации ВР надо называть третьим предельным распределением. Класс предельных распределений развит в ХХ веке. Первые публикации с теоретическим выводом и эмпирическими данными появились в 1936 году в журнале «Текстильная промышленность». Автор – А.С. Турчанинов – был забыт. Принято цитировать исследования Вейбулля прочности канатов от 1940 г., которые не содержали теоретического вывода.

Вводить Турчаниновский термин «Ассимтотические» распределения уже поздно. Здесь используются только названия статистических мер из первоисточника, поскольку общепринятых наименований и обозначений для них нет в литературе до сих пор.

Главной сферой применения этих распределений является прочность и надежность. Первыми объектами исследований были всяческие катастрофы. Позднее от наводнений перешли к находкам, выигрышам, выздоровлениям и т.п. Однако при моделировании и сегодня рассматривают цепь, в которой естественно существует самое «слабое звено». Поскольку все началось с практического наблюдения – чем длиннее нить или канат, тем меньше предельная нагрузка. Это явление стали называть «масштабным фактором» и находить его в самых неожиданных ситуациях.

В теоретическом выводе применяется понятие дефекта, который проявляется в разрушении объекта, или в отклонении измеряемого параметра, никак не ограниченном. Дефект - это несоответствие объекта установленным требованиям.

Если моделировать ВР на вышеупомянутой наклонной доске, то шарики придется разгонять до большой скорости, и штырьки на их пути нужны высокие, такие, что одно соударение сразу меняет траекторию, оставаясь для шарика первым и последним. Шарики разместятся внизу доски несимметрично.

При выводе формулы ВР предполагается наличие в объекте множества дефектов, каждый из которых может вызвать наблюдаемое отклонение. Например, множество трещин, и любая из них способна расти вплоть до разрушения. Далее рассматривается вероятность отклонения из-за 1 дефекта, а затем ассимтотическое представление формулы при переходе к множеству дефектов. В отличие от НР, для ВР есть формула функции распределения. По ней, в частности, рассчитывается масштаб вертикальной оси вероятностного графика ВР. Он ориентирован относительно уровня 0,632. Это число следует из выражения 1 – 1/е, поэтому отмечается индексом Х_е. Х_е – характеристическое значение. В литературе можно встретить, например, обозначение «а» с названием «параметр положения». Аналитический теоретический расчет Х_е весьма сложен. По вероятностному графику Х_е просто считывается, как абсцисса точки пересечения с уровнем 0,632.

Равные участки по вертикальной оси определяют параметр К – меру рассеяния. В литературе его называют параметр положения (в). Масштаб нессиметричен: вверх откладывается всего один интервал 1/К и уже – уровень 0,999986.

Вниз откладывается неограниченное число таких интервалов, и каждое очередное значение будет меньше предыдущего на порядок – 0.1; 0,01; 0,001 и т.д. Разность между соседними уровнями, например, 0,1 и 0,01, будучи перенесена на горизонтальную ось, равна 1/К. Аналитический расчет К нуждается в весьма пространной формуле.

Мера рассеяния К принципиально отличается от меры . Именно К определяет действие масштабного фактора. Вводят базовый объем V_е (площадь, длину), на котором измеряются все данные для эмпирического распределения, а затем рассчитываются меры распределения элементов с другими размерами.

Например, трубопровод надо испытывать на образцах 1м, а рассчитывать функцию распределения на длине 1000 км – чтобы не было «неожиданных» разрывов и пожаров.

При расчете статистических мер для искомых размеров V, учитывается, что параметр К остается прежним, а новое характеристическое значение определяется, исходя из формулы:

lgV_e – lgV = K(lg X_e1 – lgX_e2),

где Х_е1 – значение, найденное для базовых размеров V_e,

Х_е2 – искомое значение для размеров V.

Поскольку это распределение часто подменяют другими, более привычными, целесообразно сравнить его с популярными функциями:

1. Если параметр формы К >> 4 т.е. дефекты проявляются слабо, имеет место аналогия с НР, так, что в центре распределения в диапазоне вероятностей от 0,01 до 0,99 распределения неразличимы.

2. При 2 < К < 4 распределение Вейбулла аналогично логарифмически–нормальному в диапазоне 0,01 – 0,99. Вероятностный график этого распределения строится при нормальном масштабе по вертикали и логарифмическом по горизонтали.

3. При К = 1 и при постоянных размерах имеет место частный случай ВР – экспонентциальное распределение (ЭР). Это распределение стало практически единственным в теории надежности, благодаря особо упрощенным расчетам. Х_е в этом применении называют Т_ср – средним временем безотказной работы, а  = 1/Т – интенсивностью отказов.

Если К < 1, то ВР не сравнимо с прочими теоретическими распределениями. Это проявление весьма «опасных» дефектов.

Применительно к прочности, К будет расти при увеличении пластичности материала. Хрупкие материалы имеют малое К.

Сегодня ВР имеет множество применений и понятие дефекта надо воспринимать условно. Скажем, распределение расходов населения в России характеризуется: К << 1.

У ВР, как уже отмечалось, вероятностный график с логарифмическим масштабом горизонтальной оси. При относительно малом размахе можно ввести линейный масштаб, но это уже будет первое предельное распределение.