Глава 11

СТАТИСТИЧЕСКИЙ СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РАДИОПРИЕМНЫХ УСТРОЙСТВ

§ 11.1. Радиоприем

как статистическая задача

Структурный синтез радиоприемных устройств. В современных условиях радиоприемные устройства (РПУ), как правило, работают в сложной помеховой обстановке 1131. Поэтому обеспечение помехозащиты РПУ от различных видов помех естественного и искусственного происхождения является важной задачей.

Структурный синтез оптимальных РПУ в условиях помех заданного типа является одной из радикальных мер помехозащиты и изучается в статистической теории радиоприема [30]. Ниже рассматривается синтез в условиях воздействия на РПУ лишь аддитивных широкополосных шумовых помех («белого шума») гауссового или марковского типа.

Основная проблема оптимального приема состоит в наилучшем (в рамках заданного критерия оптимальности) решении поставленной перед радио-

приемным устройством задачи. При структурном синтезе оптимального РПУ возникает типичная статистическая задача: по заданным исходным (априорным) данным о статистических свойствах сообщений, сигналов, помех, радиоканалов и их функционального взаимодействия, при выбранном критерии оптимальности и типе решаемой в РПУ задачи найти оптимальные алгоритмы обработки информации. Наилучшими являются оптимальные радиоприемные устройства, синтезированные в условиях полной априорной определенности.. Априорная неопределенность снижает качество оптимального приема и требует специальных методов ее устранения.

Современная статистическая теория оптимального приема едина [30] для РПУ любых информационных радиосистем передачи информации, радиолокационных, радионавигационных и др. Она основана на математической статистике и теории статистических решений.

Виды оптимального приема. При

пространственно-временном приеме объектом наблюдения является поле смеси- сигнала и шума: Е_£ (/, г)= == Е_с (г, г, к) + Е_ш (t, г), принимаемое антенным устройством в некотором ограниченном объеме пространства г £ V и времени t £ Т. На основе обработки этого поля РПУ выносит некоторое решение D — D (?\.), как-то связанное с полезной информацией к.

При временном приеме объектом наблюдения, на основе которого выносится нужное решение D, является процесс

(11.1)

представляющий собой напряжение смеси сигнала и шума на выходе ан-тенно-фидерного устройства (АФУ) заданной конфигурации.

В теории оптимального приема радиоприемное устройство, состоящее из оптимального приемника и решающего устройства, с помощью решающего правила ф₀ (D/x(r)) на основе обработки процесса (11.1) выносит нужное решение D. При дискретной обработке наблюдаемый процесс (11.1) квантуется по времени (с шагом At = = Т/т) и заменяется векторной выборкой X — [х_л..... X) = х (tj

— I At)..... х„,\.

Оптимальные радиоприемные устройства различного назначения. Радиоприемное устройство обнаружения сигнала чаще всего бывает двух-альтернативным (бинарное обнаружение). Здесь выносится решение D= = 1 (ДА), если в наблюдаемом поле или процессе сигнал есть. В противном случае выносится решение ' D — О (НЕТ).

Радиоприемное устройство различения (многоальтернативного) выносит решение D — I, I -■ 1, п, если в наблюдаемом поле или процессе присутствует /-й вариант сигнала и_с1 (г), передаваемый через канал связи. При п — 2 имеется бинарное различение,

Рис. 11.1

широко распространенное в РПУ дискретных сигналов.

Радиоприемное устройство оценки параметра к сигнала выносит (в конце интервала наблюдения / == Т) решение D = к, причем параметр к считается на этом интервале наблюдения неизменным. Это радиоприемные устройства измерения параметров сигнала: частоты, фазы, амплитуды, групповой задержки, направления прихода волны.

Радиоприемное устройство оценки (фильтрации) непрерывного сообщения k(t), существенно изменяющегося на интервале наблюдения, выносит

текущую оценку D (t) — k(t), t£ Т. Это следящие радиоприемные устройства. Если к (г) — модулирующее напряжение сигнала, то процесс фильтрации сообщения эквивалентен процессу демодуляции. В ряде случаев фильтруется не параметр сигнала, а сам сигнал и_с (г, к).

Радиоприемное устройство разрешения сигналов работает в условиях, когда в наблюдаемом поле или процессе одновременно присутствует совокупность сигналов u_cl (t), I = \,п. От РПУ требуется либо обнаружить раздельно каждый из сигналов (разрешение — обнаружение), либо различить их всех (разрешение — различение), либо измерить или отфильтровать параметр каждого из сигналов (разрешение — оценка).

Байесово решение при произвольных сигналах и помехах. В условиях полной априорной определенности наилучшим считается [301 радиоприемное устройство, которое для любых решаемых задач распадается на оптимальный приемник (Прм) и решающее устройство (РУ) (рис. 11.1). Первый из них, на основе обработки процессов (11.1) с дискретной выборкой X =

. X (к), в которой закодирован параметр сигнала к, в момент времени t = Т формирует так называемую апостериорную плотность вероятностей, описываемую формулой Байеса [81:

Здесь k р~^л (X) коэффициент, не зависящий от к; р_г, (к) р (к)--априорная плотность вероятностей; L (к) -= р (XX) функция правдоподобия.

При непрерывной обработке (Л/->--v 0) все плотности вероятностей в (11.2) переходят в функционалы плотностей вероятностей [81 вида р\(х (/)[ = = lim р (X), а функция правдопо-

Д*-0

добия — в функционал правдоподобия f (к) - lim L (к) - р [х иу'к\.

ДГ-0

В качестве критерия оптимальности при байесовом решении берется критерий минимума среднего риска [30], который и определяет структуру решающего устройства.

Структурные схемы оптимальных радиоприемных устройств при произвольных сигналах и помехах. Существует целый ряд оптимальных РПУ, использующих байесовы алгоритмы. Рассмотрим наиболее важные вари-

анты таких радиоприемных устройств.

1. О и т и м а л ь н ы е РПУ оценки параметра сигнал а. Если к ~ [k_lt ...

kj, км\ — векторный параметр, подлежащий оценке, то выходной эффект оптимального Прм г - р (к!\) на рис. 11.1 представляет собой многомерную функцию аргумента к. Тогда в качестве решения принимается оптимальная оценка D = -к (X) в виде одной из характерных точек (мода, медиана, центр тяжести) этой многомерной апостериорной плотности вероятностей.

Качество байесовых оценок в оптимальном РПУ (рис. 11.1) и, в частности, их потенциальная точность существенно зависят от функции правдоподобия L (к), входящей в виде сомножителя в апостериорную плотность вероятностей (11.2). Эта функция существенно зависит от соотношения сигнал'шум q Э_с/Э_ш на входе РПУ (рис. 11.2, а). При q < 1 видны многочисленные шумовые (ложные) выбросы, не соответствующие истинной

оценке к. При q 4, в частности, имеется двузначность отсчета с ложной оценкой к'. Лишь при с/ > 10 остается единственный правильный пик истинной оценки.

При формировании в оптимальном РПУ (рис. 11.1) выходного эффекта г (л) = р (к/Х) =* kp (к) L (к) возможны два частных случая:

а) априорная и апостериорная точности оценок сравнимы (рис. 11.2, б). Априорная плотность вероятностей р (к), может существенно сгладить шумовые выбросы функции правдоподобия и благоприятно повлиять на неоднозначность отсчета;

б) апостериорная точность значительно выше априорной (рис. 11.2,в). Апостериорная плотность вероятностей практически совпадает с функцией правдоподобия и выходной эффект оптимального Прм

г(к) р(Щ) wL(k) = p(%lk). (11.3)

Если при этом в РУ (рис. 11.2) в качестве оптимальной оценки берется точка максимума функции правдоподобия (11.3), то оценка к=[ку, ...

.... kj..... к_м\ называется максимально правдоподобной и часто используется в теории оптимального приема 1301.

2. Оптимальные РПУ м.ногоальтернати в н о г о различения. Здесь параметр к дискретен и соответствует набору к_ь i = 1, М исходных ситуаций присутствия в смеси (11.1) t-й копии сигнала u_ci (t) - и_с (t, к = k_t). Дискретно также решение D =-- Dj, j = 1, М, когда принимается гипотеза о присутствии в смеси (11.1) /-й копии сигнала.

Методика решения подобной дискретной задачи сводится к использованию общих байесовых решений с применением классических методов теории вероятностей [81 перехода от непрерывных случайных величин к дискретным. Здесь оптимальный Прм многоканален и в качестве выходных эффектов формирует апостериорную вероятностную функцию для всех возможных исходных ситуаций:

(1 1.4)

где Pi = Р (к = j) — априорная вероятностная функция, a L_t (X) = — р (Х/Х = /) — функция правдоподобия.

Решающее устройство для одного из частных критериев оптимальности в качестве решения D = Dj принимает ту гипотезу, для которой выходной эффект оптимального Прм p_psJ (X) максимален 130]. При таком решении минимизируется средняя вероятность (по всем гипотезам)

ошибочных решений min {P_ou,x —

м

= min { v _р.р (D = j/k = /)}.

i = i

3. Оптимальные РПУ бинарного различения. При М — 2 из предыдущих решений имеем частный случай бинарного различения, определяющий структурные схемы РПУ в системах радиосвязи с дискретными двоичными сигналами (см. гл. 15). Здесь алгоритмы принятия оптимального бинарного решения D = Dj, j— 1, 2, упрощаются [30]. Оптимальный Прм в качестве выходного эффекта формирует отношение правдоподобия Л₂, и сравнивает его в РУ с некоторым пороговым уровнем Л, зависящим от априорных вероятностей Pi в формуле (11.4) и некоторых назначаемых относительно произвольно весовых коэффициентов (функций потерь). Алгоритм оптимального бинарного различения принимает вид

В этом случае РУ (рис. 11.1) пре вращается в пороговый каскад.

4. Оптимальные Р П 5 бинарного обнаруже

н и я, Бинарный обнаружитель мож но рассматривать как частный случа] бинарного различения, если ситуа пню к 2 заменить ситуацией при

2К

сутствия сигнала в наблюдаемом процессе (Я, = 1 или ДА), а ситуацию % = 1 — ситуацией отсутствия сигнала (к = 0 или НЕТ). Структурная схема оптимального РПУ при этом остается прежней. Как показано на рис. 11.3, она состоит из оптимального Прм, вырабатывающего отношение правдоподобия Л (X), и решающего устройства (РУ) в виде порогового каскада (ПК) с пороговым уровнем h₀.

Алгоритм оптимального бинарного обнаружения принимает вид

Величина порогового уровня h₀ зависит [301 от априорных вероятностей присутствия или отсутствия сигнала в смеси (11.1), а также от выбранного критерия оптимальности, например критерия Неймана — Пирсона. В этом частном случае максимизируется вероятность правильного обнаружения сигнала в смеси при фиксированном уровне ложной тревоги.

Методы устранения априорной неопределенности. Адаптивный прием. Байесов подход, являющийся наилучшим в теории оптимального приема, требует полной априорной определенности, т. е. точного значения в формуле (11.2): априорной плотности вероятности параметра р (к); функции правдоподобия' L(k) = р (Х/л).

Подобная полная априорная определенность часто отсутствует, что не позволяет применить байесов подход к синтезу оптимального приемника. Существует ряд методов у стране-чия априорной неопределенности.

Случай 1. Параметрическая априорная не-

определенность. В этом случае плотности вероятностей р (к), р (Х/к) в формуле Байеса (11.2) определены в точностью до нескольких статистических параметров.

При несущественной параметрической неопределенности для ее устранения считают, что одна или обе плотности вероятностей зависят также от несущественного (мешающего) параметра а с заданным законом распределения р (а/к). Тогда в формулу Байеса (11.2) подставляют усредненные (по несущественному параметру а) значения р_ср (к) и L_cp (к), как показано в § 11.2.

Если статистика параметра а неизвестна (существенная параметрическая неопределенность), прибегают к косвенным методам ее нахождения, в частности, к обучающим выборкам. Это приводит к адаптивным методам приема.

Случай 2. Не параметрическая априорная неопределенность. В этом случае функция правдоподобия L (к) обычно известна точно, а функция р (к) — неизвестна вообще. Для устранения подобной априорной неопределенности прибегают к различным способам.

Если апостериорная точность оценки значительно выше априорной, то можно воспользоваться формулой (11.3) и применить критерий максимума правдоподобия.

В ряде случаев применяют минимаксный подход, когда ищут байесо-во решение (по критерию минимума среднего риска) для наименее предпочтительного априорного распределения, при котором минимальный средний риск максимален.

В случае незнания функции р (к) можно также применить критерий минимума условного риска, когда функция потерь g (и, k, X), где и - D — решение; к — оцениваемый параметр; X — выборка входной смеси, усредняется лишь по параметрам и и X:

min {г _c., (Фо, к)} = min { I g (_ы, X, X) ■ X q_(l(u/X)/7(XA)d«dX}.

Здесь фо = фо (ы/Х) - решающее правило.

Случай 3. Применение адаптивного подхода при с ил ьной априорной неопределенности. Если плотности вероятностей р (к), Р (Х/к) неизвестны и аналитические методы устранения априорной неопределенности затруднительны, прибегают к методам адаптивного приема. В этих случаях с помощью обучающих выборок входной смеси (X =

Х/к), в которой закодирован процесс к - к (t), пытаются получить эмпирически необходимую статистику:

для определения оценок плотностей

вероятностей р (к), L (к);

для формирования среднего или апостериорного риска г (и, X) = =.'J g(u, к, X)p(k,'X)dk;

для уточнения структуры решающего правила к (ы/Х).

При этом для устранения априорной неопределенности применяют адаптивный байесов подход, когда в формуле (11.2), например, фигурируют экспериментальные оценки р (к), L(k).