§ 17.4. Математическое моделирование рпу методом несущей

Математическая модель смеси на входе. РПУ. Типовой ситуацией при статистическом анализе РПУ на помехозащищенность является математическое моделирование прохождения через структурную схему приемника аддитивной смеси радиосигнала, радиопомехи (преднамеренной, естественной) и внутреннего шума приемника:

(17.22)

Здесь все три колебания считаются узкополосными:

с комплексными огибающими

зависящими от информационных параметров Х-_с = Х._с (t), Х_п Х_п (г).

В общем случае следует учитывать расстройки несущих частот:

(17.25)

Математическая модель смеси, построенная по алгоритмам (17.22) — — (17.25), показана на рис. 17.5. Вначале с помощью специальных моделей сигнала, помехи и шума вырабатываются информационные параметры Х_с U), Х„ (/) и низкочастотные составляющие шума ^А„ — R ^cos 0. В даль-' В sin

нейшем с помощью генераторов амплитуд и фаз формируются огибающие и фазы сигнала Е_с (/, X..), а|)_с (г, Х_с), помехи Е_п (t, Х„), 1|з_п (i, Х„) и шума R (/), 9 (/). При этом алгоритмы формирования сигнальных и помеховых параметров идентичны и зависят от вида модуляции:

Параметры шума формируются из процессов A (t), В (t), так что R (t) ~ \AHt) + В² (t)V'²; 6 (0 -= arctg В it) !А (/). В дальнейшем с помощью генератора узкополосных колебаний формируются составляющие «_с (/, к_с), и_п (t, Х_п), и_ш (t), которые после сумматора дают искомую смесь (17.22). Блок исходных данных, показанный на схеме рис. 17.5, выдает необходимые для расчетов параметры сигналов, помех и шумов.

Существует несколько способов формирования узкополосных колебаний н_с, и_п, и_т ^в модели рис. 17.5.

Первый способ сводится к прямому применению алгоритмов (17.23).

Второй способ сводится 15] к решению дифференциального уравнения

в виде любого узкополосного колебания и = и (/, к) — Е (/, A)-cos Фх х(г, к) = Е (t, к) cos [w„r — f (t, к)]. При этом коэффициенты в (17.27) «управляются» информационным параметром по формулам а, (/, к) - <Ф7Ф' + 2£7Е), в₀ (/, к) = (Ф'² + 2 Е'²/Е² | Е'Ф"!ЕФ' — - £"/£).

Конкретный вид этих коэффициентов определяется видом модуляции и приведен в табл. 4.2. |6|.

Третий способ использует матричные методы моделирования. Так, 'введя векторный процесс

X (0 ^X_v^l{'^]l где X, U) и (t),

Х_г (t) dX, (t)idt, дифференциальное уравнение (17.27) можно представить в матричном виде dX(/) <\t

— F (/) X (/), где

матрица коэффициентов.

При моделировании в схеме рис. 17.5 процессов к_с, к_п, А, В могут встретиться два случая.

В первом случае, когда процессы к_е (t), а иногда и к_П (/) детерминированы, применяют классические спектральные и временные методы из теории сигналов 111].

Во втором случае, когда параметры А,. (/), к„ (t) и шумовые процессы A {t), В (t) случайные, применяют методы статистической радиотехники, в частности метод «формирующего фильтра» 17]. Суть этого важного метода в скалярном варианте сводится к следующему.

Полагаем, что моделируемый случайный процесс к (t) сформирован путем пропускания белого гауссового шума nx (t) со спектральной плотностью Nx через стационарный линейный формирующий фильтр (ФФ) с передаточной функцией дробнорацио-нального типа (17.10). Это соответствует математической модели в виде стохастического дифференциального уравнения

A(p)k(t) = k,_tB(p)nx(t), (17.28)

где А (р), В (р) — полиномы с неизвестными коэффициентами a_h, Ь_г, a k„ — некоторый коэффициент пропорциональности.

На выходе ФФ спектральная плотность процесса л (/)

(17.29)

Обычно при моделировании случайного процесса к (/) задают его корреляционную функцию Rx (т) или спектральную плотность Sx (а>). Тогда по формуле (17.29) методами фак-ториоции 171 восстанавливают сначала требуемую КЧХ ФФ К (/<й), а затем и ПФ К (р) В (р) I А (р). Далее путем сравнения с (17.10) находят неизвестные коэффициенты a_h, b,. определяющие стохастическое дифференциальное уравнение (17.28).

Г (t) = 10... k₀\^T — матрицы коэффициентов размерностей тхп, nxl соответственно.

Искомый процесс A (t) связан с процессом X (0 матричным уравнением

(17.31)

где Н (t) = [10 ... 0] — матрица-строка размерности 1-я.

Матричная математическая модель формирования случайного процесса X (t) с помощью уравнений (17.30), (17.31) показана на рис. 17.6. Пунктиром обведен формирующий фильтр (ФФ), описываемый уравнением (17.30).

При моделировании статистически независимых шумовых процессов А (/), В (/) задают корреляционные функции <.АА_Т> <ЙВ_Т> = г (т) [5] и используют метод формирующего фильтра от двух независимых датчиков нормальных случайных чисел.

Математические модели функциональных звеньев РПУ (библиотека моделей). С помощью общих соотношений (17.1) — (17.6) можно составить библиотеку математических моделей (в рамках метода несущей) основных типов функциональных звеньев РПУ, которые приведены в [51.

Часто прибегают к матричным методам моделирования, используя теорию многомерных марковских процессов. Так, задание уравнения (17.28) позволяет считать, что процесс X (О является составляющей «-мерного марковского процесса X (0 - [X, (t), Х_п (t)V, где

МО.....*„(*) - dXn-tiWt.

Тогда стохастическому уравнению (17.28) для процесса X (0 будет соответствовать матричное дифференциальное уравнение для процесса X (t):

Так, линейные радиоусилител (ЛПУ) высокой или промежуточно частоты (ЛПУ), обычно регулируе мые схемой АРУ, следует моделирс вать в виде безынерционного усилите ля с коэффициентом усиления К_во) Х(«а) — для ЛРУ ИЛИ Кпо (яд) -для ЛПУ и стационарного ЛЗ с нор мированной импульсной характерг стикой /WO —Для ЛРУ или h_nN(t)-для ЛПУ. При этом регулировочны кривые Кво («а) задаются при модел»

по

ровании в виде исходных данных.

В рамках метода несущей демод} ляторы (детекторы) принято мoдeл^ ровать в виде структурных схем, к( торые имеют место в реальных си< темах. Например, амплитудный д< тектор моделируют в виде последовг тельной схемы БНЗ с заданной нел1 нейной характеристикой у = G (х) низкочастотного линейного звена импульсной характеристикой Я_д (г Для амплитудно-фазового (векторе мерного) и частотного детекторов и< пользуют классические схемы, npi веденные в настоящем пособии.

В процессе преобразований узк< полосных сигналов в различных р: диозвеньях выделить на их выходе о' дельно огибающую фазу и мгнове! ную частоту при моделировании ст; новится невозможным. Тем не мен« это бывает необходимо при иерехо; к таким схемам, как детекторы. Здес приходится применять сиециальнь методы формирования в ЭВМ огиб; ющих и фаз по узкополосным колеб; ниям, в частности, метод преобраз» вания Гильберта. Так, например, е< ли при моделировании сформирова узконолосный процесс и (0 = Е (t) XcosW гр(01. то в ЭВМ с п<

мощью преобразования Гильберта (ПГ) можно рассчитать ортогональный процесс v (t) х Е Ц) sin (— — тр (/)| +—+ и (t).

пг

Тогда с помощью процессов и, v нетрудно сформировать огибающую Е (0, фазу ф (0 и мгновенную частоту со_м (0: Е Ц) = [и* (0 + v² (01^1/2. Ф (/) = о>₀ t — arctg w(0/и (0. «м(0 = Ф' (0 - Е-¹ iuv' — vu).

Если в модели рассчитаны огибающая и фаза, то в качестве моделей демодуляторов могут быть выбраны -идеализированные модели по методу комплексной огибающей (смешанное моделирование).

Примеры моделирования на основе принципиальных схем. Обычно входной сигнал (смесь) и схему моделируемого узла РПУ описывают дифференциальными уравнениями, а затем оцифровывают по правилам, изложенным в § 17. 3.

Пример 17.1. Модель амплитудного диодного детекто-р а (метод несущей). Рассмотрим схему классического амплитудного диодного детектора (рис. 17.7, а) с заданной вольт-амперной характеристикой t — О (и_я). Она описывается нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

ay it)/dt + (\/rC)y(t)~(\/C)G[u(t) -

-У(*)] = 0. (17.32)

Объединив это уравнение с дифференциальным уравнением (17.27), получим структурную схему искомой модели детектора (рис. 17.7, б).

Можно применить другой метод моделирования, представив уравнение (17.32) в виде математической модели типового следящего РТУ (рис. 17.7, в). Здесь К (р) = = г/(1 + ргС) — передаточная функция гС-цепи в нагрузке детектора. Соответствующая цифровая модель детектора, показанная на рис. 17.7, г, является частным случаем модели рис. 17.4, б.

Примеры моделирования на основе структурных схем. С помощью указанной библиотеки программ [5] можно «набрать» поблочно математическую модель любого радиотехнического устройства, в частности, РПУ.

Пример 17.2. Модель супергетеродинного РПУ с амплитудной модуляцией. Пусть требуется методом несущей построить модель типового супергетеродинного приемника для приема АМ-сигнала в сопровождении имитационной помехи и неинформативного шума. С целью уменьшения объема моделирования полную структурную схему приемника несколько сокращают, соединяя в единые звенья однородные элементы (входную цепь и все каскады радиоусилителей — в единое звено ЛРУ, все каскады УПЧ — в единое звено ЛПУ и т. д.). Поэтому моделирование можно начать с сокращенной структурной схемы приемника (рис. 17.8).

На рис. 17.9 приведена полная структурная схема математической модели, полученной указанным методом |5]. Подроб ную модель можно описать полной системой интегродифференциальных уравнений,

связывающих выходное у (t) -- х\ (/) и входное х (t) — и_х (/) напряжения модели радиоприемника.