§ 2. Эконометрическое моделирование

Общее понятие эконометрических моделей

Эконометрические модели (в основе которых лежат методы статистики, точнее — регрессионного анализа) из всех формализо­ванных методов прогнозирования используются, возможно, наибо­лее часто (по крайней мере, за рубежом).

129

В качестве самостоятельной отрасли знания эконометрика оформилась в начале 30-х гг. XX в. Термины «эконометрика» и «эконометрия» стали общеупотребительными благодаря норвеж­скому экономисту Р. Фришу. Согласно Р. Фришу, эконометрика объединяет «как чистую экономическую теорию, так и статистиче­скую проверку законов чистой экономической теории». Более кон­кретно: «сущность эконометрики заключается во взаимном пере­плетении количественной экономической теории и статистических оценок»²⁷. Отсюда следует, что к числу эконометрических относят­ся отнюдь не все модели, а лишь такие, которые позволяют прово­дить статистические операции. Существует не мало моделей и раз­вернутых на их основе «количественных теорий», являющихся эко­номико-математическими, но вовсе не эконометрическими. По­скольку за каждой переменной эконометрической модели стоит определенный статистический индикатор, с той или иной точностью измеряющий какую-то сторону хозяйственного механизма, расчеты на базе этой модели, как правило, имеют достаточно высокую практическую ценность. Они могут быть использованы при выра­ботке экономической политики государства, рыночной стратегии фирмы и решении других конкретных задач.

Методологическая особенность эконометрики заключается в применении общих гипотез о статистических свойствах экономи­ческих параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться нетождественными тому содержа­нию, которое вкладывается в реальный объект. Поэтому важная за­дача эконометрики — создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых ха­рактеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы «подгонки» формальной моде­ли с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемо­го объекта на основе гипотезы о том, что отклонение модельных параметров от реально наблюдаемых случайно и вероятностные ха­рактеристики их известны.

Главным инструментом эконометрики служит эконометриче-ская модель — модель факторного анализа, параметры которой

²⁷ Лауреаты Нобелевской премии: Энциклопедия: В 2 т.: Пер. с англ. М.: Про­гресс, 1992. Т. 2. С. 604.

130

оцениваются средствами математической статистики. Такая модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкрет­ных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

Можно выделить два основных класса эконометрических мо­делей:

1. Регрессионные модели с одним уравнением. В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная Y представляется в виде функции /(х,р) = /(х₁,...,х„,р₁,...,р_я!), где х_и ..., х_п — независи­ мые (объясняющие) переменные, р_ь ..., р_т — параметры. В зависимости от вида функции /(х,Р) модели делятся на линей­ ные и нелинейные. Например, можно исследовать среднедушевой уровень потребления населения как функцию от уровня доходов населения и численности населения, или зависимость заработной платы от возраста, пола, уровня образования, стажа работы и т. п. По математической форме они могут быть схожи с моделями вре­ менных рядов, в которых в качестве независимой переменной вы­ ступает значение момента времени.

Область применения таких моделей, даже линейных, значи­тельно шире, чем моделей временных рядов. Проблемам теории оценивания, верификации (проверки на практике), отбора значимых параметров и другим посвящен огромный объем литературы. Эта тема — стержневая в эконометрике.

2. Системы одновременных уравнений. Эти модели описы­ ваются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых (кроме независи­ мых переменных) может включать в себя также зависимые пере­ менные из других уравнений системы. В результате имеется набор зависимых переменных, связанных через уравнения системы, ре­ шаемые одновременно. Примером может служить модель Уортона, имеющая очень большую размерность (уортоновская квартальная модель американской экономики содержит более 1 тыс. уравнений).

Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

С помощью методов регрессионного анализа, основных для эконометрического моделирования, строятся и проверяются модели, характеризующие связь между одной эндогенной (зависимой) пе-

131

ременной и одной или более экзогенными (независимыми) пере­менными. Независимые переменные называются регрессором.

Направленность связи между переменными определяется пу­тем предварительного обоснования и включается в модель в каче­стве исходной гипотезы. Задача регрессионного анализа — провер­ка статистической состоятельности модели, если данная гипотеза верна. Регрессионный анализ не в состоянии «доказать» гипотезу, он может лишь подтвердить ее статистически или отвергнуть.

Рассмотрим методологию построения регрессионных эко-нометрических моделей на примере моделей из одного уравне­ния. Модели в виде системы уравнений, обладая своими особенно­стями (в частности, при определении параметров-коэффициентов модели), также базируются на ней²⁸.

В общем виде регрессионное уравнение выглядит так:

Y = y_t(x) +e,

где ŷi(x) — функция, которая описывает детерминированную со­ставляющую модели (само уравнение регрессии); е представляет собой «случайную» компоненту.

Обычно наиболее часто для отображения зависимости исполь­зуются линейные регрессионные уравнения, отображающие зави­симость в виде прямой в многомерном пространстве. В случае с парной линейной регрессией это знакомое всем со школы уравне­ние прямой:

7 = а + рх + е.

Здесь а — постоянная составляющая, т. е. даже если х = О, то Y все равно будет иметь какое-либо положительное или отрицательное значение; (3 обычно называют коэффициентом регрессии, он отража­ет наклон линии графика, вдоль которой рассеяны значения Y, вы­явленные в результате наблюдения за поведением У, а не в резуль­тате расчетов в соответствии с моделью; е — ошибка или значение помехи, также называемая остатком. Существование остатка может быть объяснимо либо тем, что кроме рассматриваемого фактора х на значение зависимой переменной могут влиять и другие факторы, не-

²⁸ О моделях в виде системы уравнений см., например: Эконометрика: Учеб. / Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. С. 177-224.

132

учтенные в модели, либо трудностями измерения х. Математическое ожидание (среднее значение) ошибки е равно нулю.

В качестве факторной переменной может учитываться показа­тель времени t. Тогда мы имеем дело с уравнением тренда. В слу­чае с линейным трендом значения t = 1, 2, 3, ... п.

Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS) является одним из основных методов опре­деления параметров регрессионных уравнений. Он заключается в том, чтобы определить вид кривой, характер которой в наибольшей степени соответствует выраженной эмпирическими данными зави­симости. Такая кривая должна обеспечить наименьшее значение суммы квадратов отклонений эмпирических значений величин по­казателя от значений, вычисленных согласно уравнению этой кри­вой. Меняя вид теоретических кривых, приближенно отображаю­щих динамику рассматриваемого показателя, пытаются добиться как можно меньшего значения этой разности.

Пусть теоретическая зависимость линейна (парная регрессия, прямая в двухмерном пространстве) и выражена регрессионным уравнением:

Y_t =a+bx.

Коэффициент Ь можно определить по формуле:

SSr-rJxf'-J

Ь = ^ .

п z'=l

Определим а, подставив в уравнение прямой, параметры кото­рого находим, значение уже известного параметра Ь и средние зна­чения х_ср и У_ср:

a = Y_cp-bxx_cp

Допустим, связь между двумя показателями парной регрессии выражена функцией:

Y(x) = а₀ + OjXj + а₂х₂ +... + a_kx^k ,

т. е. в виде многочлена степени k.

133

Тогда вектор-столбец a = (a₀,a_ua₂,...,a_kJ ²⁹ коэффициентов мно­гочлена Y(x) является единственным решением матричного урав-

нения:

X^TXxa=X^TY ,

где Y = (Y₁,Y₂,...,Y_nf — вектор-столбец последовательных значений величины У. Отсюда а (вектор оценок параметров) может быть найден по формуле:

а = \Х^тХ) xX^TY

Матрица X имеет вид:

X ■-

(\ 2 кЛ

1 Xj Xj ... Xj

2 к

1 х₂ х2 ... х₂

1 х_п х_п ... х_п

Линейная многомерная регрессионная модель (модель множе­ственной линейной регрессии) является обобщением модели пар­ной линейной регрессии. Она имеет вид:

Г(х) = а₀ +otjX_w +a₂x_2t + a₂x_3t +... + a_mx_mt + e, t = \, 2,...,n,

где х_mt — значение фактора-регрессора х_т в момент наблюдения t, при Оо вектор независимых переменных х₀ = (1, 1, ..., 1). В этом слу­чае Оо — так называемый свободный член. Такая модель с учетом допущений, перечисленных выше, называется нормальной линей­ной регрессионной моделью.

Удобно будет представить формулу в матричном виде. Обозна­чим через Y вектор-столбец значений зависимой переменной (Y_h Y₂, ..., Y_n); a — вектор-столбец коэффициентов (ао, а_ь а₂, ..., а^); е — вектор-столбец стохастических компонент (ошибок) (е₀, е_ь е₂, ..., е„); X — матрица независимых переменных размерности пхт:

Хп

'-'I

^хт,

X ■

Хп

^хт

Верхний индекс «Т» означает «транспонированный».

134

Получим матричную запись системы, состоящей из уравнений вида:

Y = аХ + е.

Отсюда, учитывая обратимость матрицы X X, находим вектор оценок коэффициентов системы, причем это будет сделано в соот­ветствии с формулой, в точности повторяющей уже знакомую нам формулу:

а = \Х^тХ) xX^TY.

Для обоснованного применения метода наименьших квадратов данные должны соответствовать ряду допущений:

1. Математическая форма зависимости эндогенных перемен­ных от экзогенных переменных модели носит линейный характер (другие типы уравнений, отражающих зависимость значения одной переменной от других, должны быть приведены к линейному виду, прежде чем возможно будет использовать метод наименьших квад­ратов), и независимые переменные модели являются единственны­ми значимыми факторами, определяющими поведение зависимой переменной.

2. Значение ошибки е нормально распределено со средней, равной 0, и постоянной дисперсией а\, &~N\0,al). To есть, хотя значение переменной Y значимо определяется только учтенными в модели факторными признаками, существует также ряд второсте­пенных факторов, некоторые из которых будут положительно вли­ять на величину Y, некоторые — отрицательно. В случае множест­ва как положительных, так и отрицательных влияний значение ошибки е будет нормально распределено. Нормальное распределе­ние полностью определяется двумя параметрами: средней и сред­ним квадратическим отклонением (дисперсией о²). Чем больше случайных величин действует вместе, тем точнее проявляется за­кон нормального распределения. Допущение о постоянной диспер­сии говорит о постоянности разброса значений е, вне зависимости от величины значения факторов. Тогда значение ошибки обладает свойством гомоскедастичности. Если разброс значений ошибки е непостоянен, то имеет место явление гетероскедастичности.

3. Последующие значения ошибок независимы друг от друга, т. е. ковариация в парах значений е равна нулю (cove;e/ = 0). Это

135

означает, что второстепенные факторы или факторы-причины ошибки для одной из величин У, не приводят автоматически к ошибкам для всех наблюдений Y. Когда значения е независимы, то данные неавтокоррелированы. Если же значения е не являются не­зависимыми, то данные демонстрируют наличие автокорреляции.

4. Независимые переменные являются нестохастическими, т. е. их значения для модели детерминированы, заданы изначально.

Процесс построения и использования эконометрических моде­лей является достаточно сложным и подразумевает следующее:

1. после определения цели исследования необходимо построить систему показателей и логически рассортировать факторы, в наи­большей степени влияющие на каждый показатель;

2. осуществляется выбор формы связи изучаемых показателей между собой и отобранными факторами, другими словами, выбор ти­па эконометрической модели (линейная, нелинейная, степенная и т. д.);

3. решается проблема сбора исходных данных и анализа ин­формации;

4. строится эконометрическая модель, т. е. определяются ее па­раметры;

5. проверяется качество построенной модели, в первую очередь ее адекватность изучаемому явлению, после чего модель может быть использована для экономического анализа и прогнозирования.

Отбор переменных эконометрической модели

Особое внимание следует обратить на построение системы по­казателей и определение совокупности факторов, влияющих на ка­ждый из показателей. К включаемым в эконометрическую модель факторам предъявляются требования:

• включение каждого фактора в модель следует обосновать теоретически;

• целесообразно учитывать только те факторы, которые оказы­вают существенное влияние на изучаемые показатели, при этом рекомендуется, чтобы количество включаемых в модель факторов не превышало одной трети от числа наблюдений в выборке (длины временного ряда)³⁰;

³⁰ Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В. В. Федосеева. М: ЮНИТИ, 1999. С. 263.

136

• между факторами не должно существовать линейной зави­симости, поскольку ее наличие будет означать, что они характери­зуют влияние одной и той же по сути причины на показатель. На­пример, размер заработной платы работников зависит в том числе и от роста производительности труда и от объема выпускаемой продукции. Однако эти два фактора могут быть тесно взаимосвяза­ны, коррелированны, следовательно, в модель целесообразно вклю­чить лишь один из них. Включение в модель линейно зависимых факторов приводит к возникновению мультиколлинеарности, которая отрицательно сказывается на качестве модели;

• в модель рекомендуется включать только те факторы, кото­рые могут быть измерены количественно;

• в одну модель не следует включать какой-либо фактор од­новременно с образующими его частными факторами. Это приведет к не соответствующему реальности увеличению их влияния на за­висимые переменные модели и, как следствие, к искажению ото­бражения реальной действительности.

При отборе факторов, влияющих на зависимые переменные модели, используются статистические методы отбора. Так, сущест­венного сокращения числа факторов (а значит — сделать модель менее громоздкой) можно достичь с помощью применения поша­говых процедур отбора переменных. Их можно сочетать и с другими подходами к решению проблемы, например с экспертными методами оценки значимости факторов. Среди пошаговых процедур отбора факторов часто используются процедуры пошагового вклю­чения и исключения факторов.

Метод исключения предполагает построение уравнения, включающего некоторую начальную совокупность переменных с последующим последовательным сокращением их числа до тех пор, пока не будет выполнено заданное изначально при составлении уравнения условие. Применение метода включения подразуме­вает последовательное включение в модель все новых переменных, пока модель не станет соответствовать установленному критерию качества модели. Последовательность включения переменных в мо­дель определяется с помощью частных коэффициентов корреляции: те переменные, для которых значение такого коэффициента, пока­зывающего их связь с исследуемым показателем, больше, чем для прочих, включаются в регрессионное уравнение в первую очередь.

137

Одним из критериев одновременного включения или невключе­ния нескольких признаков-факторов в модель является их линейная независимость. Если данная предпосылка не выполняется, то возни­кает явление мультиколлинеарности, т. е. наличие сильной корреля­ции между некоторыми независимыми переменными модели (факто­рами). В содержательном аспекте мультиколлинеарность приводит к искажению смысла коэффициентов регрессии и затрудненности вы­явления наиболее влиятельных факторов.

Основные причины мультиколлинеарности: независимые пере­менные либо характеризуют одно и то же свойство изучаемого яв­ления, либо их влияния являются составными элементами влияния одного и того же признака.

Наиболее распространенным методом выявления мультиколли­неарности является метод корреляции. Устраняют мультиколли­неарность чаще всего исключением одного из таких факторов.

Оценка качества параметров и анализ эконометрической модели

Описывавшиеся выше модели линейной регрессии являются вероятностными, а определяемые на основе метода наименьших квадратов параметры уравнений регрессии — только лишь оценка­ми a и b истинных параметров □ и □ зависимости эндогенной пе­ременной от некоторых экзогенных. Таким образом, нужно прове­рить, насколько данные оценки верны относительно истинных ко­эффициентов. Это осуществляется путем проверки:

• статистической значимости коэффициентов регрессии;

• близости расположения фактических данных к рассчитан­ной линии регрессии.

Оценки коэффициентов регрессии так же, как и ошибка (стохас­тическая компонента уравнения регрессии), предположительно нор­мально распределены. Статистическая значимость коэффициентов измеряется степенью вариации вокруг оценочного значения. Для из­мерения величины вариации нормально распределенных ошибок, ос­татков используется среднее квадратическое отклонение этих остат­ков — стандартные ошибки коэффициентов. Для определения сте­пени значимости коэффициентов используется ^-критерий. Для того чтобы иметь возможность их определить, нужно узнать оценки их дисперсий и, таким образом, средних квадратических отклонений.

138

После можно проверить гипотезу относительно коэффициентов либо определить для них доверительные интервалы.

Оценки параметров уравнения парной линейной регрес­сии. Надежность полученных оценок коэффициентов а и (3, оче­видно, зависит от дисперсии стохастической компоненты уравнения регрессии е. Однако по данным выборки значений переменных мо­дели дисперсия е не может быть оценена, то при анализе надежно­сти оценок коэффициентов регрессии используется дисперсия от­клонений эмпирических значений переменной Y от рассчитанных на основе полученного уравнения: е; = У; - а - bxi.

В случае парной линейной регрессии дисперсия b — оценки (3 равна:

s²

= Л, ZZ

Z^-^p) ²

Var_b

Дисперсия а равна:

*²Ух²

: ^

~~ 7

zz Л zz

Var_a

Здесь s =—— — мера разброса значении зависимой пере-п - 2

менной вокруг линии регрессии — так называемая «необъясненная дисперсия», «остаточная дисперсия». S_a и S& — стандартные откло­нения случайных величин а и Ь. Коэффициент Ь — коэффициент наклона линии регрессии. Чем больше разброс значений зависимой переменной вокруг линии регрессии, тем большей (в среднем) ока­жется ошибка в определении наклона линии регрессии. Если же

все значения Y расположены на линии регрессии (е; = 0, а значит, о² = 0), то ошибки в определении значений коэффициентов а и Ь отсутствуют (отсюда — s², соответствующее о², равно нулю).

Формально значимость оцененного коэффициента регрессии Ь может быть проверена с помощью анализа его отношения к своему стандартному отклонению S_b = -yJVar_b . Эта величина в случае со­блюдения исходных предпосылок модели характеризуется £-рас-

139

пределением Стьюдента с п - 2 степенями свободы, где п — число наблюдений:

Ъ Ъ

t = i = —. ■yjVar_b S_b

Для ^-статистики проверяется гипотеза о равенстве ее нулю. t = О будет означать b = 0.

При оценке коэффициента линейной регрессии можно исполь­зовать следующее грубое правило. Если стандартная ошибка коэф­фициента больше его модуля (|^|< 1), то он не может быть при­знан «хорошим», значимым, поскольку доверительная вероятность при двусторонней альтернативной гипотезе составляет менее при­близительно 0,7. Если стандартная ошибка меньше модуля коэф­фициента, но больше его половины (1 < 11 \ < 2), то данная оценка коэффициента может рассматриваться как более или менее значи­мая (доверительная вероятность от 0,7 до 0,95). Значение t от 2 до 3 свидетельствует о наличии весьма значимой связи (доверительная вероятность от 0,95 до 0,99), |^|> 3 означает практически стопро­центное подтверждение ее наличия. Несомненно, в каждом случае определенную роль играет количество наблюдений: чем их больше, тем надежнее при прочих равных условиях выводы о наличии свя­зи и тем меньше граница доверительного интервала для данного числа степеней свободы и уровня значимости. Однако эти различия существенны лишь для малых п, а при п > 10 сформулированные правила приблизительно верны.

Для осуществления проверки значимости оценок коэффициен­тов регрессии нужно решить, будет ли она односторонней или дву­сторонней. Выбор определяется теоретическим обоснованием моде­ли связи зависимой и независимой переменных. При этом односто­ронняя проверка предполагает, что характер связи между X и Y однозначен: либо связь отрицательна, либо положительна, но не то и другое одновременно. При двусторонней проверке исходят из предположения, что связь между X и Y может быть как положи­тельной, так и отрицательной.

С помощью рассчитанных стандартных отклонений и значений ^-статистики можно определить доверительный интервал значений а и р с заданной доверительной вероятностью. Предполагаемые значения а и (3 будут находиться в рамках этого интервала, если

140

же нет, то придется отвергнуть предположение, выдвинутое относи­тельно величины а и (3:

b-S_bxt_Hp„_T<p<b + S_bxt_Hpl„, a~S_ax /_крит< a<а + S_bx /_крит

Как и в случае парной линейной регрессии, для анализа стати­стической значимости полученных оценок коэффициентов множе­ственной линейной регрессии необходимо оценить дисперсию и стандартные отклонения коэффициентов щ.

В общем случае дисперсия коэффициента щ Var_a]- определяется по формуле:

,2 _Yj?t*Zjj

zz -

п-т-1

Var_n =Si

J

где S_a — стандартное отклонение величин af, Zjj — диагональные элементы матрицы (X^TX)'^U, m — число независимых переменных в модели. Отсюда для проверки гипотезы о величине каждого из ко­эффициентов рассчитываются, как и в случае парной линейной регрессии, ^-статистики коэффициентов:

а а

t = — = -

■JVai% S_b

т_ь

характеризующиеся распределением Стьюдента с п-пг-1 степенями свободы.

Доверительные интервалы определяются аналогично случаю с парной регрессией.

Для оценки степени соответствия линии регрессии выборочным данным обычно применяется коэффициент детерминации R :

_я2 cHRidr-g

R = = ^л ^тг

или

₂ сно Yk-r;)^{2 OCH}S^-U

141

Общая сумма квадратов отклонений (ОСК) — это сумма квад-ратов разностей между выборочными (наблюдаемыми) значениями зависимой переменной У; и средней из наблюдений в выборке У_ср.

Сумма квадратов отклонений, объяснимая регрессией (СКР), — это сумма квадратов разностей между прогнозируемыми на основе найденного уравнения регрессии значениями Y′ и средней из наблю-дений в выборке У_ср.

Остаточная сумма квадратов (СКО) — это сумма квадратов разностей между выборочными (наблюдаемыми) значениями У; и рассчитанными на основе найденного уравнения регрессии Y′.

Коэффициент детерминации принимает значения от 0, когда факторы X не оказывают никакого влияния на зависимую перемен-ную, до 1, когда изменения зависимой переменной Y полностью объяснимы влиянием факторов модели.

Однако в многофакторной регрессии коэффициент детермина-ции корректируют с учетом числа независимых переменных, рас­считывают скорректированный R² -R² :

R²′ =1-(1-tf²)-

п-1

п-т

где п — число наблюдений; т — число независимых переменных. Коэффициент детерминации является R² случайной величиной, поскольку Y — случайная переменная. Критерий проверки значи-мости R² имеет F -распределение. Это распределение обладает дву-мя степенями свободы: одно значение в числителе критерия про-верки (обозначается v₁), второе — в знаменателе (v₂). В критерии проверки для R² числителю соответствует степень свободы 1 и зна-менателю — п - 2 степеней свободы. Сам критерий проверки для R² рассчитывается так:

1-R²

F = R² ÷

п-2 Для скорректированного R² критерий проверки вычисляется

так:

R² п-к

1-R² к-1

F

142

где п — число наблюдений; k — число независимых переменных в уравнении регрессии. Этот критерий проверки имеет F-рac-пределение со степенями свободы v_{ = k - 1 и v₂ = n - k.

Также для множественной регрессии имеет смысл рассчитать частные коэффициенты детерминации d_x и d_x . Но перед этим требуется определить парные коэффициенты корреляции между переменными модели: r_vv ,r_w ,r_vv и т. д. Их рассчитывают для оп-

ул₁ ул₂ ^л₂

ределения тесноты связи между переменными модели, на основе значения парных коэффициентов корреляции можно принять ре­шение о включении или невключении факторной переменной в итоговую редакцию модели. Парные линейные коэффициенты кор­реляции определяются на основе формулы:

Ыср -*ср.Уср Г = ,

где а_х и а у — среднеквадратические отклонения выборочных зна­чений показателей х и у, для которых рассчитывается коэффициент корреляции, от выборочной средней. Величина среднеквадратиче-ского отклонения выборочного значения какого-либо показателя (например, х), как вы помните из курса статистики, равна квадрат­ному корню из его дисперсии:

2_ \Ц{^Х-^Хсу²

п

О" ZZ

Коэффициент множественной корреляции для оценки зависи­мости результирующей переменной от факторных в парной регрес­сии рассчитывается по следующей формуле:

У^х₁^х2

=

1-

^гух₁ ух₂ 2*"yx₁"yx₂^f"ух₁х₂

^ГХ₁Х₂

Этот коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1 (колебания значений переменной Y абсолютно не зависят или полностью зави­сят от изменения значений факторов X), чем его значение ближе к 1, тем полнее учтены все факторы, влияющие на Y.

143

В общем случае формула коэффициента множественной кор­реляции выглядит так:

1 ско v оск

Частные коэффициенты детерминации в многофакторных мо­делях служат для анализа тесноты связи между результативной и одной из факторных переменных при неизменном значении ос­тальных факторов. Они показывают, на сколько в процентном со­отношении изменится значение зависимой переменной при измене­нии данного фактора и неизменных прочих:

dx, = ^Гух, ^{Х а}1

X

J

а

у

а

где г — парный коэффициент корреляции факторной переменной / и зависимой переменной Y; а/ — оценка соответствующего коэф­фициента регрессии при данном факторе в уравнении регрессии; а_х. и а у — среднеквадратические отклонения значений рассматри­ваемого фактора и У.

Частные коэффициенты корреляции используются для измере­ния тесноты связи между данным фактором и зависимой перемен­ной модели при неизменных прочих факторах:

• ^гухх — ^ПР^И одном неизменном факторе х₂ — коэффициент частной корреляции первого порядка;

• ^г_Уххх — ^ПР^И Д^ВУ^Х неизменных факторах х₂ и х₃ — коэффи­циент частной корреляции второго порядка;

• r„_{vv v} — при неизменном действии всех факторов, вклю-

ух₁х₂...х_т г г-* т г

ченных в уравнение регрессии — коэффициент частной корреля­ции (т - 1)-го порядка.

Коэффициенты парной корреляции называют коэффициентами нулевого порядка.

Частные коэффициенты корреляции можно рассчитать в соот­ветствии со следующей формулой:

ух₁ ■x₁x₂.x_i-₁x_i+1...x_m

1- Уел...*...*

1-R2 ₁

yx...x_i-1x_i+1...x_m

144

где R²_{rr r r} — множественный коэффициент детерминации всего комплекса из от факторов с У; R_vr — показатель детер-

i х- yx₁x₂...x_i-1x_i+1...x_m ^

минации, но для модели, не включающей фактор X;.

Помимо этого, коэффициенты частной корреляции более высо­ких порядков можно определить через коэффициенты более низких порядков по формуле:

yx₁-x₁x₂...x_m-1 ух_т-х₁х₂...х_т-1 x_ix_m-x₁x₂...x_m-1 ух₁-х₁х₂...х_т

J(1-?² _{rr r} )x(1-r_r²_{r rr r} )

V -^^Лт'^Л1^Л2.^Лт-1 xixm'^x₁x2.xm-1

При двух факторах и i = 1 данная формула примет вид:

^Гух₁ -х₂

^Гух₁ - ^Гух₂ ^{Х Г}х₁х₂

у(1-гД)х(1-г^_Х2)

При двух факторах и г = 2 данная формула будет выглядеть:

^ух₂ - ^Гух₁ ^Х ^X₂

^ух₂ -X₁

J(1-r,²_r )x(1-r²_r )

V -У^х1 ^Х1^Х2 '

Помимо этих показателей, влияние отдельных факторов на ре­зультирующую переменную в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, определяемых по формуле:

^Xjcn

э_г = а ,■ х —^ср-,

Уср

где x_jср — среднее значение соответствующей факторной переменной; г/_ср _ среднее значение результирующей переменной; щ — коэффи­циент при данном факторе в уравнении регрессии. Они показывают, на сколько процентов изменится величина результирующей перемен­ной при изменении данного фактора на 1% и неизменных прочих.

Тестирование выполнения допущений метода наименьших квадратов в модели линейной регрессии

Чтобы осуществить проверку модели на выполнение допущений метода наименьших квадратов, необходимо проверить модель на:

145

• гетероскедастичность: является ли распределение остат­ков, ошибок регрессии постоянным (гомоскедастичным), или же нет;

• автокорреляцию, являются ли значения остатков, ошибок независимыми, или имеет место явление автокорреляции остатков;

• мультиколлинеарность: являются ли независимые пере­менные некоррелированными.

Существует большое число тестов для проверки на гетероскеда­стичность: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Глейзера, тест Голдфелда-Квандта, Бреуша-Пагана³¹ и др. Одним из наиболее по­пулярных тестов является тест Голдфелда-Квандта. Как правило, его применяют, если есть предположение о прямой зависимости диспер­сии ошибки от величины некоторой независимой переменной моде­ли. Для этого надо действовать по следующему алгоритму:

1. все наблюдения упорядочиваются по величине независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскеда­стичность;

2. остатки в этой упорядоченной совокупности делят на две равные группы, при чем находящиеся посредине между ними d на­блюдений исключаются из рассмотрения (d обычно равно около ¹А от общего количества наблюдений);

3. рассчитываются две независимые регрессии по первой и вто­рой группе, количество наблюдений в которых составляет n/2 - d/2 (при этом должно быть n/2 - d/2 > k + 1, где k — число независи­мых переменных), и находятся соответствующие остатки для первой и для второй регрессии Â_{ и Â₂;

4. если предположение о прямой зависимости дисперсии ошиб­ки от величины данной независимой переменной верно, то в первой группе сумма квадратов остатков (а значит, и их дисперсия) будет меньше, чем во второй; затем рассчитывают критерий Голдфел­да-Квандта. в случае предположения прямой пропорционально­сти между величиной дисперсии отклонений и значением незави-

³¹ См., например: Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 206-208; Терри Дж. Уоршем, Кейт Паррамоу. Количественные методы в финансах: Учеб. пособие для вузов: Пер. с англ. / Под ред. М. Р. Ефимо­вой. М.: Финансы: ЮНИТИ, 1999. С. 286-287; Магнус Я. Р., Катышев П. К, Пере-сецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. пособие. 2-е изд., испр. М.: Дело, 1998. С. 112-113; Эконометрика: Учеб. / Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. С. 155-169.

146

симой переменной сумму квадратов остатков во второй группе де­лят на сумму квадратов остатков в первой. Рассчитанный критерий имеет F-распределение с п/2 - d/2-k и п/2 - d/2 - к степенями свободы. В случае обратной пропорциональности дисперсии откло­нений значению независимой переменной сумму квадратов остатков в первой группе делят на сумму квадратов остатков во второй, рас­пределение критерия также имеет вид F-распределения с теми же степенями свободы.

В случае наличия гетероскедастичности остатков для опреде­ления параметров регрессии применяется обобщенный метод наименьших квадратов (Generalized Least Squares, GLS). Он применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые не только обладают свойством несмещенности, но имеют наименьшие выборочные дисперсии.

Автокорреляция (сериальная корреляция) — явление зависи­мости величины остатков друг от друга, поскольку текущие значе­ния Y находятся под влиянием величины прошлых значений. Авто­корреляция может появиться из-за недоучета (опущения) перемен­ных, неверной формы функции, оценивающей зависимость резуль­тирующей переменной от факторных (например, линейная модель, в то время как она должна быть нелинейной) и т. п. Особенно под­вержены автокорреляции данные временных рядов показателей.

Зависимость между остатками описывается также с помощью уравнения регрессии:

где остаток е; находится под влиянием величины остатка предыду­щего наблюдения е_м и какого-либо текущего значения случайной переменной z_t. Эта форма функции называется авторегрессионой функцией первого порядка (АР(1)), т. к. только один предшест­вующий период учтен при оценивании зависимости остатков.

В случае, когда предполагается зависимость текущего остатка от величин остатков двух и более предшествующих периодов, авто-регрессионые функции имеют следующий вид:

6; =PS;_₁ +PS;_₂ +... + P&j__s + Z; .

Регрессионная модель позволяет получить несмещенную оцен­ку с наименьшей дисперсией тогда, когда остатки независимы друг

147

от друга. Когда существует автокорреляция остатков, то коэффици­енты регрессии не смещены, но стандартные ошибки будут недо­оценены, и проверки коэффициентов регрессии будут ненадежны.

Для проверки на наличие автокорреляции остатков в модели можно построить график зависимости остатков от времени и опре­делить автокорреляцию визуально либо воспользоваться критерием Дарбина-Уотсона:

п

DW =— .

п

Согласно эмпирическому правилу, если критерий Дарбина-Уот­сона равен 2, то не существует положительной автокорреляции, если он равен 0, то имеет место совершенная положительная автокорре­ляция, а если он равен 4, то имеет место совершенная отрицательная автокорреляция. Однако данный критерий имеет выборочное распре­деление, базирующееся на специальной таблице³². Это выборочное распределение обладает двумя критическими значениями di и йц.

В процессе проверки модели на автокорреляцию остатков с по­мощью этого критерия проверяются следующие гипотезы:

Я₀: нет автокорреляции, если d_v<DW<4 - d_v;

Н{. положительная автокорреляция при DW < di, отрицатель­ная автокорреляция при DW > 4 - di.

К сожалению, в составе данного распределения существуют зоны неопределенности, где результаты могут указывать как на на­личие, так и на отсутствие автокорреляции остатков:

d_L < DW < du, или 4 - du< DW < 4 - d_L.

Для применения критерия Дарбина-Уотсона существуют неко­торые ограничения.

Во-первых, он неприменим к моделям с лаговыми значениями зависимого признака, включаемыми в модель как фактор наряду с

³² Эту таблицу можно найти в учебнике Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 372-373.

148

прочими (авторегрессионые модели). Для тестирования на автокор­реляцию в таких моделях используется h-критерий Дарбина³³.

Во-вторых, при проверке на автокорреляцию более высоких, чем первый, порядков следует применять иные методы³⁴.

В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные ре­зультаты только в относительно больших выборках, не менее 15-20 наблюдений.

Для того чтобы решить проблему автокорреляции, сначала сле­дует рассмотреть возможность исключения переменных из модели или изменение формы функциональной зависимости результирую­щей переменной от переменных-факторов. Если это не приводит к успешному исключению автокорреляции остатков, можно приме­нить процедуру Кокрана-Оркатта³⁵.

Если некоторые или все независимые переменные в модели множественной регрессии являются высококоррелированными, трудно в рамках регрессионной модели разграничить их отдельные влияния на Y. Это также может означать наличие между высоко­коррелированными независимыми переменными мультиколлинеар-ности — линейной зависимости, т. е. воздействия одного фактора на другой. Высококоррелированные переменные действуют в одном направлении, в результате чего модель не может изолировать влияние каждой из переменных-факторов на результат. При муль-тиколлинеарности коэффициенты регрессии нестабильны по их статистической значимости, величине и знаку, а стало быть — не­надежны. Значения R² могут быть высоки, но стандартные ошибки также высоки, отсюда ^-критерии малы, отражая недостаток значи­мости.

Коэффициенты интеркорреляции (т. е. парной корреляции ме­жду объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно кол-линеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимо-

³³ См., например: Эконометрика: Учеб. / Под ред. И. И. Елисеевой. М: Финан­ сы и статистика, 2001. С. 325-330.

³⁴ См., например: Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 239-240.

³⁵ См.: Доугерти К Там же. С. 222-223; Эконометрика: Учеб. / Под ред. И. И. Ели­ сеевой. С. 281.

149

emu, если парный коэффициент корреляции между ними равен или превышает 0,8³⁶.

Поскольку одним из условий построения уравнения множест­венной регрессии является независимость факторов, коллинеар­ность факторов нарушает это условие. Если факторы явно колли-неарны, то один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связан­ному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тес­ной связи с результатом имеет наименее тесную связь с другими факторами.

В отношении мультиколлинеарности могут быть предприняты некоторые меры:

1. исключение из модели тех факторов, которые являются вы­сококоррелированными с остальными. Однако, возможно, что дан­ные переменные были включены в модель в соответствии с резуль­татами тщательного предварительного качественного теоретике-экономического анализа, а значит будет не совсем оправдано ис­ключать их только для того, чтобы улучшить статистические ре­зультаты;

2. увеличение объема выборки по принципу: чем больше дан­ных, тем меньше дисперсии оценок МНК. Проблема в реализации этого варианта — необходимо найти дополнительные данные;

3. преобразование факторов таким образом, чтобы уменьшить корреляцию между ними, например переход от исходных перемен­ных к их линейным комбинациям, не коррелированным друг с дру­гом (метод главных компонент³⁷).

Прогнозирование на основе эконометрических моделей (на примере модели из одного уравнения)

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение Y_i4 как точечный прогноз величины Y при заданных х, ,х₉ , ..., х_т путем подстановки данных значений независимых переменных в уравнение регрессии. Однако точечный

³⁶ Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В. В. Федосеева. М: ЮНИТИ, 1999. С. 268.

³⁷ См., например: Эконометрика: Учеб. / Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финан­ сы и статистика, 2001. С. 314-319.

150

прогноз не учитывает еще одного элемента, входящего в регресси­онную модель — стохастической компоненты, точнее — погрешно­сти прогноза вследствие ее существования. Поэтому точечный про­гноз обычно дополняется расчетом ошибки для значения зависимой переменной Y, рассчитанного по уравнению регрессии.

Для определения интервала, в котором находятся возможные значения зависимой переменной уравнения регрессии при извест­ных значениях независимых переменных, необходимо учитывать ошибки двух разновидностей.

Во-первых, ошибки могут быть вызваны рассеиванием факти­ческих значений Y в соответствии с произведенными наблюдения­ми относительно линии регрессии. Их можно учесть, рассчитав по следующей формуле:

п-2 .

Подкоренное выражением представляет собой как раз меру разброса фактических значений зависимой переменной вокруг ли­нии регрессии — остаточную дисперсию. Извлекая из нее корень, находим стандартную ошибку Y.

Во-вторых, заданные для модели коэффициенты регрессии яв­ляются нормально распределенными случайными величинами. Обусловленные этим отклонения учитываются с помощью умноже­ния значения s на поправочное выражение. Для модели парной линейной регрессии средняя величина отклонения прогнозируемого значения от линии регрессии, таким образом, рассчитывается по формуле:

m_Y =sxt_r.x1 + — +

и. \

1 (х„₊₁ -хГ

п

¹ п+1

Ц\^Хг-^Х)

где п — число наблюдений; 1 — шаг прогноза; t_a— табличное значение ^-статистики при уровне значимости а (количество степе­ ней свободы — п- 2); наблюдаемое значение независимой переменной в наблюдении /; х — среднее значение х; х_{п tl} — про­ гнозное (заданное) значение независимой переменной на шаге про­ гноза 1.

151

Отсюда верхняя и нижняя границы интервала предсказания определятся как

U Y ~ *п+\ Т„₊₁ ■

В общем случае модели множественной линейной регрессии среднюю величину возможного отклонения реального значения по­казателя от рассчитанного с помощью имеющегося уравнения рег­рессии можно найти следующим образом.

Пусть модель множественной регрессии, как и описывалось ранее, имеет вид:

Y = аХ + е,

где Y — вектор-столбец значений зависимой переменной (Y_h Y₂, ..., Y_m); a — вектор-столбец коэффициентов (ао, a_h щ, ..., а„); е — век­тор-столбец стохастических компонент (ошибок) (е₀, г_ъ е₂, ..., г_т); X — матрица независимых переменных размерности тхп, причем первый ее столбец состоит из единиц.

Предположим теперь, что есть еще один набор (вектор-строка) х_пл (первый элемент, соответствующий свободному члену уравнения, равен 1) независимых переменных и известно, что соответствующая ему зависимая переменная удовлетворяет данной модели, т. е.

■* и+1 ^{— Х}п+\ ^х Ot + 6,

где также должны соблюдаться все предпосылки МНК. Требуется по Y, X, х_пл оценить Y_nA.

Точечный прогноз величины Y_nn находим так же, как и в слу­чае с парной регрессией: подставляем в уравнение регрессии соот­ветствующие значения х_пл. Остается оценить ошибку прогноза. Ее найдем в соответствии со следующей формулой, которая является по отношению к приведенной выше формуле средней величины от­клонения прогнозируемого значения от линии регрессии для урав­нения парной регрессии общей:

^тг_п+1 = ^ х /_а х д/l + х„₊₁ х [х^тх)¹ х х^т_п+1 .

152