6.2. Переходные процессы в цепях постоянного

тока с индуктивностью

6.2.1. Рассмотрим включение индуктивности на постоянное напря­жение (рис. 6.1). По второму закону Кирхгофа

Если , то можно разделить переменные в этом уравнении и решить его относительно тока, т. е.

Обычно называют установив­шимся током, т. е. такую силу имеет ток по окончании переходного явления. Это ток, который устанавливается в цепи, когда переходных явлений нет. Переменные разделяются:

Можно проинтегрировать левую и правую части уравнения

где А — постоянная интегрирования, которая определяется из началь­ных условий.

После потенцирования можно получить

Чтобы определить начальные условия, нужно использовать первый закон коммутации. При , так как ток не может изменяться скачком (до включения цепи , т. е. при , ). Подставляя начальные условия в последнее выражение, определяем А=I.

Таким образом, ток в цепи изменяется по экспоненте

Величина имеет размерность времени, называется посто­янной времени и характеризует ско­рость процесса (рис. 6.2). Считают, что при переходный процесс практически заканчивается.

Предположим, что индуктив­ность с установившимся током мгновенно отключают от источни­ка и включают на резисторную на­грузку. Уравнение цепи (по второ­му закону Кирхгофа) имеет вид

Проинтегрировав это уравнение разделением переменных, получим

где — постоянная интегрирования, определяемая из начальных усло­вий: (по первому закону коммутации).

Таким образом, ток в цепи из­меняется по экспоненте (рис. 6.3)

6.2.2. Постоянная времени в це­пях с индуктивностью зависит только от соотношения индуктив­ности и активного сопротивления. Продолжительность процесса не зависит от электрических величин.

6.3. Переходные процессы е цепях постоянного

тока с емкостью

6.3.1. На рис. 6.4 приведена цепь за­ряда конденсатора. Определим зависи­мость изменения напряжения на об­кладках конденсатора от времени. Уравнение цепи имеет вид

Если то

Это дифференциальное уравнение решается разделением пере­менных:

где А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных усло­вий. По второму закону коммутации Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону

Эта зависимость приведена на рис. 6.5. Постоянная времени ха­рактеризует скорость процесса.

6.3.2. Разрядку конденсатора мож­но рассматривать по схеме, приведен­ной на рис. 6.6. Уравнение цепи в этом случае имеет вид

Если разделить переменные и проинтегрировать, можно определить закон изменения напряжения на обкладках конденсатора

где А — постоянная интегрирования Таким образом,

Постоянная времени определяет скорость протекания процесса (рис. 6.7). Считают, что переходный процесс заканчивается за вре­мя, равное

6.4. Принужденные и свободные составляющие

переходных токов и напряжений

6.4.1. Уравнение цепи, которая имеет и

где и — напряжение на клеммах источника питания (в общем случае может зависеть от времени).

т. е. уравнение цепи преобразуется

Это уравнение типа

т. е. линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго по­рядка.

6.4.2. Переходные процессы в цепи, имеющей все параметры, в об­щем случае описываются линейным уравнением второго порядка с пра­вой частью. Правая часть определяет ЭДС источника питания.

Общий интеграл такого уравнения является суммой общего реше­ния (уравнение без правой части) и частного решения (уравнение с пра­вой частью), т. е.

где — частное решение;

— общее решение.

6.4.3. Частное решение характеризует ход процесса под действи­ем ЭДС определенной формы (правая часть уравнения). Поэтому част­ное решение называется принужденной составляющей тока, или при­нужденным током. Общее решение характеризует ход процесса без ЭДС. Поэтому общее решение называется свободной составляю­щей тока, или свободным током. Таким образом, принужденный процесс — это процесс после окончания переходных явлений, который про­ходит под влиянием ЭДС.