12.4. Введение в теорию ошибок (погрешностей)

12.4.1. Виды измерений физических величин и классификация возникающих при этом ошибок (погрешностей)

Целью любого измерения некоторой физической величины является получение её истинного значения. Однако это весьма непростая задача из-за различных ошибок (погрешностей), неизбежно возникающих при измерениях.

Все измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые непосредственно измеряют исследуемую величину. При косвенных измерениях определяемую величину вычисляют по некоторой формуле, а параметры, входящие в эту формулу, находят путем прямых измерений. Погрешность, возникающая в прямых измерениях, естественно, ведет к появлению ошибки косвенно определяемой величины.

Ошибки (погрешности) измерений принято делить на систематические и случайные.

Систематические ошибки вносятся самим измерительным прибором. Их можно учесть, если известен класс точности данного прибора.

Появление случайных ошибок обусловлено влиянием многочисленных случайных причин на результаты измерений. Эти погрешности обнаруживаются лишь при повторении процедуры измерений и приводят к получению ряда близких, но все-таки различающихся между собой значений измеряемой величины.

Теория ошибок позволяет оценить величину именно случайной ошибки. Последовательно рассмотрим порядок обработки результатов прямых и косвенных измерений.

12.4.2. Порядок обработки результатов прямых измерений

Допустим, измеряется величина Х и мы хотим найти её истинное значение – х_ист. Результатом n измерений, проведенных соответствующим прибором, является ряд её значений: х₁, х₂, х₃ ,…, х_n.

Из теории ошибок следует, что при очень большом количестве измерений n (n→∞) истинное значение измеряемой величины практически совпадает со средним арифметическим всех полученных значений:

x_ист = =

(Σ – «сигма» - заглавная буква греческого алфавита, которая используется в математике как символ суммы одинаковых по структуре слагаемых, - стандартное обозначение среднего арифметического).

Однако при любом ограниченном количестве проведенных измерений n истинное значение х_ист будет отличаться от найденного среднего арифметического значения т.е.  х_ист.. Необходимо оценить величину этого различия.

К решению данного вопроса подходят следующим образом.

По полученным результатам n измерений рассчитывают среднее арифметическое значение определяемой величины и ее среднюю квадратичную ошибку S:

= (12.25)

(12.26)

По этим данным рассчитывают величину Δx – абсолютную ошибку измеряемой величины x. Теория ошибок дает ее следующее значение:

х = t_{p, n} (12.27)

Здесь t_p,n – коэффициент Стьюдента, значение которого определяется из соответствующих таблиц. Оно зависит от числа измерений n и доверительной вероятности (надежности) p – величины, которая, в соответствии с теорией ошибок, позволяет утверждать, что x_ист. лежит в определенном интервале, построенном около , а полуширина этого интервала, по крайней мере, при n < 30 определяется по формуле (12.27). Заметим, что значение р выбирается до проведения расчетов и при оценке случайных ошибок, возникающих в медико-биологических исследованиях, обычно равно 0,95 (95% ), иногда – 0,99 (99%). Чем ближе p к единице, тем большего доверия заслуживает определяемый интервал.

О кончательный результат записывают в виде: - х < х_ист. < + х или х_ист. =  х с указанием выбранного значения p.

Интервал значений x, содержащий x_ист. с вероятностью р, называют доверительным интервалом (см. рис. 12.6).

Далее, в соответствие с теорией ошибок, определяют величину  =  100%, которую называют относительной ошибкой, оценивающей точность измерений.