12.4.3. Порядок обработки результатов косвенных измерений
При косвенных измерениях искомую величину Z вычисляют по некоторой формуле:
Z = f(x, y) (12.28)
где x и y – прямо измеряемые величины.
Число значений x и y, полученных при измерении каждого из них, равно n:
x1, х2, х3, …., хn ;
у1, у2, у3, … , уn.
Далее находят их средние арифметические значения:
=
,
=
(12.29)
и средние квадратичные ошибки:
Sx
=
;
Sу
=
,
(12.30)
Затем вычисляют среднее арифметическое значение косвенно измеряемой величины Z по формуле:
=
f(
).
(12.31)
Истинное значение Z – Zист. лежит в доверительном интервале:
– Z < Zист. < + Z или Zист.= ± Z. (12.32)
Полуширина данного интервала для величины Z рассчитывается по формуле:
Z
= tр,
n
.
(12.33)
где tр, n – коэффициент Стьюдента, находится по таблицам.
В формуле (12.33) средняя квадратичная ошибка Sz косвенно измеряемой величины, равна:
=
,
(12.34)
где
=Zx´
и
=Zy´
– частные производные величины Z=f(x,
y),
соответственно, по x
и по у,
вычисляемые при их средних значениях,
Sx
и
Sу
– средние квадратичные ошибки величин
х
и у,
значения которых получаются по формулам
(12.30), tр,
n
– уже знакомый нам коэффициент Стьюдента,
p
– доверительная вероятность (надежность).
Окончательный результат обычно записывается в виде: Zист. = Z, с указанием выбранного значения р.
Приводится так же относительная ошибка косвенно измеряемой величины:
=
100 % (12.35)
12.4.4 Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.
Рассчитаем случайную ошибку при косвенном измерении важнейшей характеристики текущей жидкости – вязкости жидкости (см. главу 4):
= 0
,
где , , t – вязкость, плотность и время истечения исследуемой жидкости из капилляра вискозиметра; 0, 0, t0 – соответственно вязкость, плотность и время истечения эталонной жидкости (воды).
Величины 0, 0 и считаем точно известными, t и t0 измеряем секундомером, вязкость исследуемой жидкости – косвенно измеряемая величина.
1. Пять измерений времени истечения исследуемой жидкости и воды дали следующие результаты:
для исследуемой жидкости t= 79, 2 с;80,4 с;78,0 с; 83,6 с; 80,2 с;
для воды t0 = 51,0с; 48,4 с; 50,6 с; 47,4 с; 44,2 с.
2. Найдем по (12.25) средние арифметические значения t и t0:
=
= 80,28 с,
=
= 48,32 с.
Определим по
(12.29) среднее арифметическое значение
вязкости исследуемой жидкости при:
= 790
,
0
= 998,2
,
0
= 1,0
10-3
Па
с:
=
0
;
=
1,0
10-3
= 1,31
10-3
Па
с = 1,31 мПа
с.
3.Рассчитаем среднюю квадратичную ошибку вязкости по (12.34):
S
=
.
Для этого по (12.30)
определим средние квадратичные ошибки
времени истечения исследуемой жидкости
St
и воды
:
St
=
=2,09 с
=
= 2,75 с.
Найдем частные
производные
при t
=
и t0
=
0:
=
=
= 16,38
10-6
Па ,
= -
= –
= -27,21
10-6
Па.
Тогда S
=
=
82,2
10-6
Па
с.
4. Определим полуширину доверительного интервала или абсолютную ошибку вязкости по (12.33). При р = 0,95 и n = 5 коэффициент Стьюдента,
tр, n = 2,78, тогда:
= 2,78
= 0,1
10-3
Па
с = 0,1 мПа с.
Следовательно, с доверительной вероятностью р = 0,95 = 95% истинное значение вязкости исследуемой жидкости лежит в интервале
η =
= (1,31
0,1)
10-3
Па
с = (1,31
0,1) мПа
с.
Относительная ошибка равна
=
100 % =
7,6 %
Контрольные вопросы и задачи
Вопросы:
Виды измерений физических величин и классификация возникающих при этом ошибок (погрешностей).
Порядок обработки результатов прямых измерений.
Порядок обработки результатов косвенных измерений.
Задачи:
1. Произведено 5 независимых измерений толщины пластины h (мм). Получены следующие результаты: 2,15; 2,18; 2,14; 2,16; 2,17. Оцените истинное значение толщины пластины с помощью доверительного интервала, принимая доверительную вероятность (надежность) 1) р = 0,95; 2) р = 0,99. Сравните полученные результаты.
2. У больного А на протяжении месяца исследовалось содержание гемоглобина в крови (мкмоль). Получены следующие значения 75,7; 70,1; 70,7; 71,4; 78,8. Оцените истинное значение данного показателя, принимая доверительную вероятность р = 0,95.
* В конкретных задачах y и x приобретают конкретный смысл.