12.1.2. Способы задания функций. Виды элементарных функций

Задать функцию - это значит задать правило или закон, согласно которому по данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у.

Рассмотрим способы задания функции.

1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению с = с₀е^–kt, где с₀ и с – соответственно, исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k -положительная постоянная, е – число примерно равное 2,718…

2. Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t: U = f(t).

3. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t. На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.

В математике различают элементарные и сложные функции. Последние рассмотрим ниже, а здесь приведем основные виды элементарных функций:

1. Степенная функция : y = f(x) = xⁿ, где х - аргумент, n - натуральное число (1, 2, - 2, и т.д.).

2. Показательная функция : y = f(x) = a^x, где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 1), например:

y = 10^x (a = 10) , y = e^x, y = e^-x (a = e ≈ 2,718…)

Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов.

3. Логарифмическая функция с любым основанием а: (а>0) y = log_ax, иначе у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a ^y = x

Если основание а = 10, то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x; если a = e, то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х.

Напомним некоторые правила логарифмирования:

Пусть даны два числа а и b, тогда:

1. lg (a·b) = lg a + lg b;

2. lg = lg a - lg b;

3. lg a^b = b lg a;

Ничего не изменится при замене символа lg на ln.

Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.

_{Приведем графики некоторых элементарных функций (см. рис. 12.1):}

г)

Рис. 12.1 Графики следующих элементарных функций:

а) y = x²; б) y = sin x; в) y = e^x; г) y = e ^{– x} ; д) y = kx