12.1.4. Производные сложных функций

Напомним, что различают элементарные и сложные функции. Отметим, что аргументом элементарных функций является некоторая переменная величина (координата, время, сила и так далее). Аргументом сложных функций, которые рассматриваются ниже, является функция.

Пусть y = f(u), где u = φ(x), причем f(u) и φ(x) – элементарные функции, первая из них имеет производную по u, а вторая – по x. Рассмотрим зависимость y от x: для этого в значении y заменим u на φ(x) и получим y = f [φ(x)]. Теперь y будет сложной функцией от x, т.е. функцией от функции, зависящей от x.

В этом случае производная y по x вычисляется по следующей формуле:

(12.6)

Примеры:

1. y = sin 3x. Здесь u = φ(x) = 3x, тогда y = sin u и по формуле (12.6) получаем:

.

2. y = (1+x²)⁶; u = 1 + x², y = u⁶, далее по формуле (12.6) .

При достаточном навыке вычисления производных сложных функций промежуточную переменную «u» не пишут, вводя ее лишь мысленно;

3. y = ln²x, .

12.1.5. Физический смысл производной. Градиент функции

Физический смысл производной состоит в том, что она определяет быстроту (темп) изменения функции.

Начнем с понятного примера. При равномерном движении скорость тела равна отношению пути ΔS, пройденного телом за время Δt, к этому промежутку времени  = . Если движение неравномерное, то отношение является средней скоростью на этом участке пути, а скорость, соответствующая каждому данному моменту времени, называется мгновенной скоростью движения и определяется как предел отношения при Δt→0, т.е.

(12.7)

Обобщая полученный результат, можно утверждать, что производная функции f(x) по времени t является мгновенной скоростью изменения функции. Понятие мгновенной скорости относится не только к механическим движениям, но и к любым процессам, развивающимся во времени. Можно найти скорость сокращения или расслабления мышцы, скорость кристаллизации раствора, скорость отвердевания пломбировочного материала, скорость распространения эпидемического заболевания и др.

Значение мгновенного ускорения во всех этих процессах равно производной функции скорости по времени:

. (12.8)

В механике — вторая производная пути по времени.

Понятие производной, как величины, характеризующей быстроту изменения функции, применяется для разных зависимостей. Например, надо узнать, как быстро изменяется температура вдоль металлического стержня, если нагревать один из его концов. В данном случае температура - функция координаты x, т.е. T = f(x) и характеризует темп изменения температуры в пространстве.

Производную некоторой функции f(x) по координате x называют градиентом этой функции (часто используется сокращение grad от лат. gradient). Градиенты различных переменных – это векторные величины, всегда направленные в сторону увеличения значения переменных.

Отметим, что градиенты многих величин являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в биологических системах. Это, например, градиент концентрации , градиент электрохимического потенциала (μ – греческая буква «мю»), градиент электрического потенциала .