12.3. Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную функцию y, независимую переменную x и производные 1-го, 2-го и т.д. порядков:

. (12.18)

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящей в него производной.

Решить дифференциальное уравнение – значит, найти функцию , которая удовлетворяет данному уравнению. При подстановке этой функции и ее производных в данное уравнение должно получиться тождество.

Различают общее и частное решение дифференциального уравнения. Общее решение порядка n содержит n произвольных величин :

. (12.19)

Частное решение получают из общего, используя дополнительные условия (их, иногда, называют начальными), заданные вместе с уравнением.

На конкретных примерах рассмотрим один из возможных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка, который называется методом разделения переменных.

Надо решить уравнение: , если известно, что при .

Порядок действий для получения ответа:

1. Представим производную неизвестной функции в виде отношения дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента т.е. , тогда уравнение можно переписать в виде: (12.20)

2. С помощью простых алгебраических преобразований знаком «равно» разделим все величины, включающие неизвестную функцию y, и величины содержащие аргумент x. В нашем примере (12.20) обе части уравнения умножим на и разделим на y, тогда (12.21)

3. Проинтегрируем полученное равенство. Для этого, используя табл. 12.3, найдем неопределенные интегралы от обеих частей выражения (12.21): . (12.22)

(если при вычислении неопределенного интеграла, включающего неизвестную функцию, ответ получается в виде lny, то произвольная постоянная справа, часто записывается в виде lnC, это упрощает последующие действия, приводящие к ответу);

4. Перепишем (12.22) в виде , иначе и по определению логарифма числа (см. стр. 362) , а (12.23). Выражение (12.23) – общее решение заданного уравнения.

Отметим, что этот ответ можно получить и следующим образом:

, примем за новую константу, тогда .

Найдем частное решение исходного дифференциального уравнения. Для этого в (12.23) подставим заданное, кроме уравнения, дополнительное условие ( при ). Это позволит конкретизировать значение C: и , а – частное решение.

Приведем еще несколько примеров:

1. Найти общее решение уравнения: ;

решение:

.

2. Найти частное решение уравнения: , известно, что при ;

решение: – общее решение;

Найдем частное решение: подставим в полученное решение заданное дополнительное условие, тогда , т.к. , то , а .

Часто создание математических моделей различных процессов сводится к решению дифференциальных уравнений, записанных на основании экспериментальных данных.

Приведем пример. Рассмотрим процесс изменения численности популяции бактерий во времени. Начальный объем популяции, помещенной в питательную среду, равен . Из опытов известно, что мгновенная скорость прироста популяции υ прямо пропорциональна количеству микроорганизмов n в каждый данный момент времени. Найдем зависимость n от t, т.е. .

Решение:

Напомним, что для любого процесса развивающегося во времени его мгновенная скорость равна производной от величины, характеризующей этот процесс, по времени. В нашем случае . По условию задачи или (12.24), k – положительный коэффициент пропорциональности. Соотношение (12.24) – дифференциальное уравнение, описывающее процесс роста бактерий. Его решение – математическая модель данного процесса, анализ которой позволяет при известном k оценить количество микроорганизмов для любого момента времени, не проводя часто затратного эксперимента.

Приведем его решение: , т.к. при , , то и .

Контрольные вопросы, примеры и задачи

Вопросы:

1. Дифференциальное уравнение, его общее и частное решения.

2. Метод разделения переменных как способ решения дифференциальных уравнений.

Примеры и задачи:

1. Покажите, что функция является решением уравнения .

2. Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений:

а) ; б) .

3. Найдите частное решение уравнений:

а) , если при ;

б) , если при .

4. Решите задачу.

Скорость наработки фермента в некоторой химической реакции прямо пропорциональна ее массе m в каждый данный момент времени. Составьте дифференциальное уравнение, соответствующее этому процессу, и получите его общее решение.