12.1.6. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции

Для исследования функции (нахождения областей убывания и возрастания функции, нахождения и исследования ее экстремумов) часто применяются ее первая и вторая производные.

Пусть некоторая функция y = f(x) задана графически (например, см. рис. 12.3). Анализ показывает, что если функция возрастает, производная положительна ( >0), а если – убывает, производная отрицательна ( <0). Если функция имеет максимальное (точка B) или минимальное значение (точка D), то производная f(x) в этих точках равна нулю ( и ) (рис. 12.3).

В окрестности точек экстремума (x₂ и x₄) будет изменяться знак первой производной. Если знак меняется с «+» на «–», то в этой точке – максимум (точка B), если с «–» на «+», то минимум (точка D).

Максимум и минимум функции можно также различать между собой по знаку второй производной заданной функции, вычисленной в соответствующих точках экстремума. В точке максимума y'' < 0, а в точке минимума у'' > 0.

Исследование функции на максимум и минимум (на экстремум) рассмотрим на примере задачи 1 на стр. 360.

Итак, надо ответить на вопрос: при какой дозе лекарства x реакция организма r будет максимальна?

Напомним, что r = x² (a – x) = ax² – x³, a > 0.

1. Найдем первую производную от заданной функции:

r' = 2ax – 3x²

2. Приравняем эту производную к нулю и решим уравнение:

2ax – 3x² = 0, x(2a – 3x) = 0, решения уравнения: а) x = 0, оно лишено смысла, б) x = 2a/3.

2. Найдем вторую производную от r (первую производную от r'):

r'' = 2а – 6x,

Определим ее значение при x = 2a/3, r'' = - 2а < 0.

Следовательно, именно при x = 2a/3 реакция организма r будет максимальна.

В данной задаче величина а для каждого препарата определяется из экспериментальных данных.

12.1.7. Графики производных функций

В практической медицине часто приходится сопоставлять график изменения некоторой величины со временем с графиком производной этой величины. В частности, в методе, называемом реопародонтография регистрируется зависимость объема кровенаполнения V исследуемого участка сосудистой системы от времени, т.е. V(t), и зависимость первой производной этой функции, которая определяет изменение скорости кровенаполнения. Примеры можно продолжить.

Приведем графики самих функций и их производных для нескольких простых функций (рис. 12.4).

а)

б)

1 В) г) 2.1.8. Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции

Дифференциал заданной функции y = f(x) равен произведению значения производной этой функции в данной точке на дифференциал аргумента (d – символ дифференциала):

(12.9)

Можно показать, что дифференциал аргумента dx равен приращению аргумента Δx.

Дифференциал функции не равен приращению функции (dy ≠ Δy), но при малых приращениях Δх:

Δy ≈ dy (12.10)

Последний результат важен в прикладном отношении: зная дифференциал функции, можно оценить изменение этой функции и наоборот.

Приведем несколько примеров.

1. Найдем приближенное приращение функции y = 2x² + 7 при x = 2 и Δx = 0.0001.

Решение: Δу≈ dy; dy = y' dx; dy = 4x dx или Δy ≈ 4x Δx

Таким образом, Δу ≈ 4 • 2 • 0,0001 = 0,0008.

2. Рассмотрим шарообразную клетку радиуса R (например, эритроцит в венозном русле), которая, не изменяя формы, увеличивается в объеме. Объем (V = f(R)). Оценим изменения объема клетки ΔV, если ее радиус увеличился от 2,5 · 10^-3 до 2,6· 10^-3 см.

Решение: ΔV≈ dV = V'dR = = 4π R²ΔR = 7.85 · 10^-9 см³.