12.1.9. Функции нескольких переменных. Частные производные

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин. Например, объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, y, z выражается формулой V = x · y · z, т.е. значения V определяются совокупностью значений x, y и z Реакция организма r на x единиц лекарственного препарата, вообще говоря, зависит не только от x, но и от времени t, прошедшего с момента поступления лекарства в организм:

r = x² (a – x) · t e ^{- t}.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных. Переменная z называется функцией, например, двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значений x и y ставится в соответствие определенное значение z, короче: z = f(x, y).

Для функции нескольких переменных вводится понятие частная производная.

Это производная заданной функции по какой-нибудь из переменных. При ее вычислении другие переменные считаются постоянными.

Частные производные обозначаются так: или z'_x , z'_y .

Рассмотрим вычисление этих производных на конкретных примерах:

1. z = xy + xy² – 1, z'_x = y + y² (y = const), z'_y = x + 2 xy (x = const).

2. z = x³ sin y + y⁴, z'_x = 3x² sin y (y = const), z'_y = x³ cos y + 4y³ (x = const).

Частные производные используются для вычисления полного дифференциала, который оценивает приращение функции в этом случае .

Контрольные вопросы, примеры и задачи

Вопросы:

1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.

2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.

3. Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.

4. Физический смысл производной. Градиент функции.

5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.

6. Графики производных функций.

7. Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.

8. Функции нескольких переменных. Частные производные.

Примеры и задачи:

1. Вычислить производные следующих функций:

1) y = 1 + x2 +	2) y = x + + 5	3) y = sin 2x + sin x
4) y = e5x + ln x	5) y =	6) y = e – t (a – t2)5

2. Размер популяции бактерий в момент времени t (время выражено в часах) задается формулой: n(t) = 10⁶ + 10⁴ – 10³t. Найти скорость роста популяции, когда:

а) t=1 ч; б) t = 5 ч; в) t=10 ч.

3. Разрушение некоторого пломбировочного материала в полости рта протекает в соответствии с уравнением m = m₀ e ^{– k t}, где m – количество материала в момент времени t, k – положительная постоянная. Найти скорость разрушения и выразить ее как функцию m.

4. Количество электричества Q (в Кулонах) определяется формулой: Q = 2t² + 3t + 1. Найти силу тока в конце пятой секунды.

5. Концентрация С некоторого вещества убывает с увеличением толщины ткани (h) по закону, k – постоянный положительный коэффициент, C₀ - концентрация на поверхности. Найти градиент концентрации.

6. Атмосферное давление воздуха p на высоте h над уровнем моря определяется формулой p = p₀e^-kh, где p₀ – это давление на уровне моря, k – положительная постоянная. Найти градиент давления.

7. Решить задачу 2, приведенную в тексте (формула 12.4) (стр. 360).

8. Проанализируйте вид графиков, показанных на рисунке 12.4.

9.Вычислить дифференциал следующих функций:

а) y = x³ + 5/x² + x⁴ б) y = (1 – cos x) · x² в) y = 3 tg³x + tg x

10. Найти частные производные:

a) z = e^2x sin 3y б) z = y e^x + 1 в) z = x/y г) z = cos x/y