Подкольца и идеалы колец.

В теории колец особую роль, аналогичную роли подгрупп и нормальных делителей в теории групп, играют подкольца и идеалы.

Определение. Подмножество кольца называется подкольцом в , если само является кольцом относительно операций, заданных в . Другими словами, − подкольцо в , если , (здесь 0 − нулевой элемент в ) и , , всякий раз, когда , ∈ .

Тривиальными подкольцами в являются нулевое кольцо {0} и само . Пересечение любого семейства подколец кольца является его подкольцом. Поэтому для любого непустого подмножества существует наименьшее подкольцо, содержащее . Обозначим его через . Если , то говорят, что является множеством (кольцевых) образующих для ; если при этом конечно, то говорят, что конечно порождено.

Отметим, если − подкольцо в , и и имеют единицы, то эти единицы могут не совпадать.

Всякое кольцо может быть вложено в некоторое кольцо с единицей. В качестве можно взять, например, множество пар ( , ), где , , а операции определяются равенствами:

, , , ,

, , , .

Элементы кольца отождествляются с парами ( , ). Единицей в служит пара ( , ). Про кольцо говорят, что оно получено внешним присоединении единицы. Подчеркнём, что если в существовала единица, то единица в будет отлична от неё.

Определение. Элемент кольца называется нильпотентным, если для некоторого . Если при этом , то число называется индексом нильпотентности элемента . Если − нильпотентный элемент индекса в кольце с единицей, то − обратимый элемент, поскольку

.

Очевидно, обратим и элемент .

Определение. Элемент кольца называется центральным, если для любого . Совокупность всех центральных элементов кольца называется центром кольца и обозначается как .

Теорема. Множество всех элементов кольца , перестановочных с каждым элементом фиксированного множества , является подкольцом в .

Доказательство оставляется читателю. ∎

В частности, при и получаем

Следствие. − подкольцо кольца .

Очевидно, что кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда его центр совпадает с самим кольцом, т.е. .

Определение. Подкольцо кольца называется двусторонним идеалом (или просто идеалом), если , (т.е. , для любых , ).

Замечание. В теории колец вводят понятия левого и правого идеалов. Левый (соответственно правый) идеал определяется как подкольцо кольца , для которого (соответственно ). Двусторонний идеал − подкольцо, одновременно являющееся как левым, так и правым идеалом. Для коммутативных колец понятия левого и правого идеалов совпадают. Мы будем рассматривать только двусторонние идеалы.

Запись означает, что − идеал кольца .

Нулевое подкольцо и само кольцо являются идеалами в ; первый из них называется нулевым, а второй − единичным идеалами. Идеал кольца, отличающийся от нулевого и единичного, называется собственным идеалом кольца.

Пересечение любого семейства идеалов кольца является идеалом кольца . При этом, если , − идеалы в , то . В частности, идеалом оказывается пересечение всех идеалов, содержащих множество . Этот идеал называется идеалом , порождённым множеством и обозначается через ; при этом элементы множества называются образующими идеала . Отметим, что не всякого идеала существует конечная система образующих. Подкольца, порождённые множеством , вообще говоря, меньше идеала порождённого тем же множеством, т.е. , где включение может быть строгим.

Определение. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным.

Нулевой идеал (0) всегда является главным; если кольцо обладает единицей, то (1) – главный идеал. Для любого главный идеал ( ) составляют элементы вида

где , , , , , а при наличии в кольце единицы − элементы вида

Если − коммутативное кольцо, то эти выражения выглядят проще:

соответственно. Для более общего случая имеем:

,…, .

Определение. Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов.

Замечание о главных идеалах.

Утверждение. В коммутативном кольце с единицей множество всех кратных любого фиксированного элемента является идеалом в .

Доказательство. Если и , то = ( ) , кроме того, для любого элемента имеем и . ∎

Следствие. Коммутативное кольцо с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно не имеет собственных идеалов.

Доказательство. Любое поле содержит два идеала: нулевое (0) и единичное (1). Других (т.е. собственных ) идеалов в поле нет. Если не является полем, то в имеется необратимый элемент , среди кратных которого нет единицы. Поэтому является собственным идеалом в . ∎

Замечание. Следующий контрпример показывает, что как конечное, так и бесконечное некоммутативное кольцо, содержащее необратимый элемент, может не иметь собственных идеалов. Рассмотрим кольцо матриц второго порядка над произвольным полем ℱ. Пусть в этом кольце означает матрицу, у которой =1, а на остальных местах нули. Другими словами,

, , , .

Пусть − ненулевой идеал в и − матрица из этого идеала с ненулевым элементом . Тогда идеал должен содержать все матрицы вида = . Выберем любую матрицу . Так как ≠ 0, то мы можем положить , а затем, обозначив через матрицу с элементами на главной диагонали и нулями вне её, мы можем представить в виде

Таким образом, . Отсюда следует, матричное кольцо не имеет собственных идеалов, причем конечно или бесконечно в зависимости от того, конечно или бесконечно .∎