Корни многочленов

Пусть − подкольцо с единицей целостного кольца .

Определение. Элемент называется корнем (или нулём) многочлена , если . (Говорят также, что − корень уравнения .)

Замечание. Переход от кольца к кольцу (для которого является собственным подкольцом) обычно обусловлен следующим обстоятельством. Многочлен может не иметь корней в . С другой стороны, ввиду , многочлен можно рассматривать как элемент кольца . При этом может иметь корни в . Например, многочлен не имеет корней в , но имеет два корня в (именно: и – , где ). Как бы там ни было, мы рассмотрим сначала случай .

Теорема Безу. Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на .

Доказательство. Многочлен может быть записан в виде

= + , deg < deg = 1.

Так как , то тогда и только тогда, когда − нулевой многочлен. ∎

Определение. Элемент называется корнем кратности (или -кратным корнем) многочлена , если делится на , но не делится на . При корень называется простым, а при − кратным.

Очевидно, что является -кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда , где и . Так как − целостное кольцо, то deg .

Теорема. Если ,…, − различные корни ненулевого многочлена кратностей ,…, соответственно, то

(1)

для некоторого многочлена такого, что , ,…, . При этом

(2) .

Доказательство. Применим индукцию по . При доказывать нечего. Пусть доказано, что

для некоторых и многочлена такого, что , ,…, . Подстановка даёт

.

Так как − целостное кольцо и , ,…, , то . Пусть , г (и, очевидно, , ,…, ). Тогда

,

где . Допустим, что . Тогда, используя закон сокращения в целостном кольце , получаем , что, однако, невозможно ввиду

и .

Следовательно, . Аналогично доказываем, что . Поэтому и

,

где , ,…, . Это и требовалось показать. Наконец, неравенство (2) непосредственно вытекает из (1). ∎

Замечание. Без предположения о целостности кольца теорема неверна. Например, если ( − кольцо целых чисел по модулю 8), то = ; разложение также неоднозначно:

.

Из теоремы вытекает

Следствие. Ненулевой многочлен степени имеет, самое большее, корней. Два многочлена , степени , принимающие одинаковые значения при подстановке + 1 различных элементов из , равны: = .

Доказательство. Если допустить, что многочлен имеет не менее корней, то возникает противоречие с неравенством в (2). Если , то многочлен имеет степень , но не менее корней, что невозможно. ∎

Производные многочленов. Характеризация корней многочленов

Пусть ℱ − поле. Для характеризации корней многочленов от одной переменной над полем полезны производные и гиперпроизводные, определяемые ниже.

Определение. Производной многочлена

называется многочлен

Отметим следующие свойства производной:

(2) ,

(3) ,

которые имеют место для любых , и , . Соотношение (2) непосредственно вытекает из определения производной, а доказательство соотношения (3) сводится рассмотрению случая , :

.

Применяя индукцию по соотношение (3) можно обобщить следующим образом:

В частности,

Определение. Производная порядка (кратко: -ая производная) многочлена определяется как

; для , 2,…

Формула Лейбница. Применяя индукцию по и учитывая соотношение

для биномиальных коэффициентов, получаем формулу, обобщающую соотношение (3) на случай -ых производных:

Если − поле характеристики нуль, то

.

Для поля характеристики это, вообще говоря, неверно. Например, если многочлен имеет вид

то − нулевой многочлен, поскольку , и ; в остальных случаях − ненулевой многочлен, но

(более точно: если , то deg , где равно наибольшему , при котором и ).

Относительно -ых производных отметим, что

при ,

а если при этом , то и

при

(и, следовательно, при , .