Интерполяционная формула Ньютона

Пусть − поле.

Теорема. Пусть ,…, − любые (необязательно различные) многочлены со степенями . Тогда для любого многочлена , степень которого не превосходит , существуют однозначно определённые многочлены ,…, такие, что deg , , и

1. .

Доказательство. Существование. Если , то возьмём и для . Предположим, что . Представим в виде

2. ,

( − остаток, а − частное от деления на ). Так как , то по предположению индукции существуют многочлены ,…, такие, что , , и

3. .

Подставляя (3) в (2), получим искомое разложение (1).

Единственность. Допустим, что существуют два разложения, удовлетворяющие условиям теоремы:

.

Тогда

.

Очевидно, что делит , а так как , то . Разделив наше равенство на , аналогично установим, что . Продолжая этот процесс, получим ,…, . Это доказывает единственность разложения (1). ∎

Следствие. Пусть ,…, − любые элементы. Тогда любой многочлен степени представим в виде

для однозначно определяемых констант ,…, .

Если ,…, − различные элементы, то формула (4) называется интерполяционной формулой Ньютона, где коэффициенты последовательно определяются путём подстановки значений ,…, . Представление (1) , где называется -адическим разложением многочлена . Если , то -адическое разложение совпадает с обычной записью многочлена . Рассмотрим более подробно случай , , уточняя значения коэффициентов ,…, в разложении

Определение. Для многочлена

определим его гиперпроизводную порядка (кратко: -ую гиперпроизводную) равенством

Стандартное соглашение о биномиальных коэффициентах, согласно которому при , гарантирует, что -ая гиперпроизводная является многочленом над полем .

Гиперпроизводные обладают свойством линейности относительно поля :

для всех , и , .

Лемма.

, , , ,…

Доказательство. Имеем

Теорема. Для любого элемента и любого многочлена степени имеет место следующее разложение:

называемое разложением в ряд Тейлора.

Доказательство. Для многочлена , записанного в виде (5), с учётом леммы, имеем

откуда следует, что = , , , ,…∎

Следствие. Элемент является в точности -кратным корнем многочлена [ ] тогда и только тогда, когда

для , ,…, , но .

Доказательство. Если − -кратный корень, то из теоремы следует, что для , ,…, . При этом , так как в противном случае будет -кратным корнем.∎

Замечание. Идея использовать гиперпроизводные для исследования функций над поля ненулевой характеристики принадлежит Хассе (1936), а также Тайхмюллеру, который исследовал основные свойства гиперпроизводных. (См.) Обычные производные и гиперпроизводные связаны соотношением: , которое имеет место, если Char или , но при этом . Для данного случая следствие можно сформулировать так:

Следствие. Пусть − неотрицательное целое число, причём любое, если , и , если . Элемент является в точности -кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда

для , ,…, , но .