Симметрическая и знакопеременная группы

Пусть − множество из элементов. Природа элементов множества несущественна; поэтому удобно считать, что , , …, . Совокупность всех биективных (т.е. взаимно однозначных) отображений множества на себя с операцией композиции отображений образует группу; её называют симметрической группой степени (или на точках) и обозначают через , но чаще всего как . Произвольный элемент называют подстановкой, или перестановкой на множестве .

Замечание. Термины ″подстановка″ и ″перестановка″ будут считаться синонимами, хотя следует отметить определённое различие между ними: подстановка − это замена одного объекта другим, а перестановка − это перемещение объекта с одного места на другое. Далее, для определённости, будем пользоваться термином перестановка.

В наглядной форме перестановку , записывают в виде двустрочной таблицы

(1) ,

где нижняя строка содержит те же элементы, что и верхняя, но, возможно, в другом порядке. Поскольку верхняя строка таблицы стандартна, то перестановка записывается в виде слова . Перестановка

,

соответствующая тождественному отображению, называется единичной, или тождественной.

Произведение (умножение) перестановок и σ определяется в соответствии с общим правилом композиции отображений:

, .

Таблица для перестановки , обратной по отношению к перестановке , получается из таблицы обычной перестановкой строк с последующим упорядочением столбцов так, чтобы верхняя строка получила стандартный вид: , ,…, . Напомним, что .

Пример. Пусть , Тогда , ,

, .

Другой общепринятый способ представления перестановки на множестве − это разложение её на независимые циклы вида

, ,

где , а − наименьшее число, для которого , Такому циклу соответствует перестановка

,

которую будем обозначать как

, , ,…,

и называть простым циклом длины . Эта перестановка оставляет на месте элементы множества , где

, , , …, ,

т.е. , если , и перемещает элемент в , т.е. , если .

Всякая перестановка может быть разложена в произведение

простых циклов , , …, . Такое разложение однозначно, если не принимать во внимание порядок сомножителей, поскольку простые циклы перестановочны: , . Циклы длины называются тривиальными. Поскольку им соответствуют неподвижные точки множества , то их при записи разложения обычно опускают.

Пример. Перестановка

разлагается в произведение циклов длины , и : .

Циклы длины называются транспозициями. Транспозиция , меняет местами элементы и , оставляя остальные элементы неподвижными. Очевидно, что и (заметим, что преобразования с таким свойством называют инволютивными).

Теорема. Всякая перестановка разлагается в произведение транспозиций.

Доказательство. Имеем

.

Аналогично и любой другой цикл представим в виде произведения транспозиций. Отсюда следует, что и произведение простых циклов, в которое разлагается любая перестановка, можно представить в виде произведения транспозиций. ∎

Замечание. Транспозиции, вообще говоря, не коммутируют. Например,

, но . Разложение перестановки в произведение транспозиций в общем случае неоднозначно.

Пусть − любая перестановка, ,…, − любая функция от переменных.

Положим

( ,…, ,…, .

Говорят, что функция получена действием на .

Пример. Пусть , ,…, . Тогда и ,…, .

Функция ,…, называется кососимметрической, если для любой транспозиции на множестве , т.е.

, ,…, , , ,…, , для любых .

Пример кососимметрической функции. Определитель Вандермонда

,…,

при перестановке столбцов меняет знак. Значит, − кососимметрическая функция.

Лемма. Пусть , − любые перестановки, ,…, − любая функция. Тогда

.

Доказательство:

(( ) ∘ ,…, ,…,

,…, ,…, ,…, ∎

Теорема. Пусть − любая перестановка, а

− любое разложение перестановки в произведение транспозиций. Тогда число

полностью определяется перестановкой и не зависит от способа её разложения.

Число , называемое сигнатурой (или чётностью) перестановки , удовлетворяет свойству:

для всех , .

Доказательство. Пусть ,…, − любая кососимметрическая функция, не равная тождественно нулю. Например, ,…, Согласно лемме

Поскольку левая часть этого соотношения зависит от , но не зависит от её разложения в произведение транспозиций, то немедленно получаем требуемое утверждение. Кроме того,

,

что доказывает (9). ∎

Перестановка называется чётной, если , и нечётной, если .

Любая транспозиция − нечётная перестановка.

Теорема. Если перестановка разлагается в произведение простых циклов , …, , с длинами ,…, , то , где

Доказательство. Так как простой цикл , имеющий длину , разлагается в произведение транспозиций, то . Остаётся учесть, что . ∎

Теорема.

Доказательство. Нижнюю строку в можно выбрать способами.∎

Теорема. Чётные перестановки в образуют подгруппу порядка . (Эту подгруппу называют знакопеременной группой степени и обозначают через .)

Доказательство. Имеем

, ∈ ;

− единица в ;

).

Другими словами, для все аксиомы группы выполняются. Вычислим её порядок.

Представим в виде объединения , где − множество нечётных перестановок. Рассмотрим отображение , определяемое правилом , где − транспозиция . Поскольку , то . Следовательно, отображение инъективно и, ввиду конечности , биективно. Оно переводит чётные перестановки в нечётные, а нечётные − в чётные. Значит, . ∎

Морфизмы групп. Пусть ( , ∘, ), ( , ∗, ) − группы.

Определение. Отображение → группы в группу называется гомоморфизмом, если

(1) , ∀ , .

Отметим простейшие свойства гомоморфизмов:

1. Единица отображается в единицу. Действительно, , ∀ . Значит, , откуда следует, что

2. Имеем

Ядром гомоморфизма f называется множество

.

Утверждение. − подгруппа в .

Доказательство. Имеем:

, ;

;

.

Другими словами, для , выполняются все аксиомы группы. ∎

Аналогично доказывается следующее

Утверждение. − подгруппа в .

Далее будем опускать знаки и .

Определение. Взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм называется изоморфизмом.

Утверждение. Если − изоморфизм, то существует обратное отображение , также являющееся изоморфизмом.

Доказательство. Так как − биекция, то обратное отображение заведомо существует. Поэтому достаточно убедиться в выполнении свойства . Ввиду биективности для любых , найдутся такие , , что , и , . Но тогда ∎

Группы G и H называются изоморфными (обозначение: ), если существуют изоморфизмы, переводящие одну группу в другую. Изоморфные группы имеют одинаковые алгебраические свойства (если не рассматривать какие-либо дополнительно определённые на них структуры). В абстрактной теории групп к ним относятся как к одинаковым объектам.

Замечание. В определении гомоморфизма от отображения не требуется не только биективности, но и сюръективности. Однако последнее не очень-то существенно. Поскольку Im − подгруппа в , можно вместо отображения рассматривать отображение 𝜑: , которое уже будет сюръективным. Главное же отличие гомоморфизма от изоморфизма заключается в наличии нетривиального ядра , являющегося мерой неинъективности.

Утверждение. Сюръективный гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда ядро отображения тривиально, т.е. }.

Доказательство. Если ядро нетривиально, то отображение не является инъекцией , следовательно, не является изоморфизмом. Теперь предположим, что ядро тривиально, т.е. состоит из одного элемента . Допустим, что для некоторых , ∈ . Тогда

.

Другими словами, если , то . Значит, − инъективное отображение и, следовательно, изоморфизм. ∎

Теорема Кэли. Любая конечная группа G порядка изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы .

Доказательство. Пусть , ,…, − все элементы группы . Для произвольного рассмотрим отображение , определяемое формулой

.

Так как , то . Поэтому − биекция на , и, следовательно,

− подстановка на точках , ,…, . Положим теперь

}

и покажем, что множество образует группу относительно композиции(произведения) отображений, определяемых, как обычно, по правилу Для этого проверим выполнимость аксиом :

. Поскольку , то

.

Другими словами, множество замкнуто относительно операции .

. Как любая композиция отображений, операция ассоциативна:

.

. Подстановка − нейтральный элемент (единица) в .

. Так как , то , т.е. каждый элемент в имеет обратный.

Таким образом, − группа. Изоморфизм групп и устанавливается соответствием

, которое биективно и удовлетворяет, согласно (2), свойству сохранения операции: . ∎

Замечание. Теорема Кэли имеет важное значение в теории групп. Она выделяет универсальный объект − семейство симметрических групп , , , ,…, как хранилище всех конечных групп, рассматриваемых с точностью до изоморфизма.

Другие морфизмы. Гомоморфизм, являющийся отображением на, называется сюръективным, или эпиморфизмом. Гомоморфизм группы в себя называется эндоморфизмом. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом. Множество всех эндоморфизмов образует полугруппу, а множество всех автоморфизмов − группу.

Смежные классы. Пусть − группа, а − её подгруппа. Левый смежный класс группы G по подгруппе H определяется как множество

, .

Всякий элемент из называется представителем смежного класса. Отображение

: является биекцией H на . Поэтому любые два смежных класса и равномощны.

Смежные классы и , имеющие хотя бы один общий элемент совпадают. Действительно, пусть , где , ∈ . Тогда , . Так как h ∈ и = , то H .

Таким образом, G есть объединение непересекающихся левых смежных классов:

.

Аналогичные замечания справедливы и для правых смежных классов

, ∈ G.

Число левых смежных классов группы G обозначается через (G : ) и называется индексом подгруппы H в G. Индекс тривиальной подгруппы H } равен порядку группы G.

Очевидно, что

(G : | |

В частности, имеет место

Теорема Лагранжа. Порядок конечной группы делится без остатка на порядок любой её подгруппы.

Следствие. Если порядок группы G равен простому числу, то G не имеет собственных подгрупп, т.е. отличных от самой группы G и тривиальной подгруппы порядка

Упражнения.

Замечание. Теорема Лагранжа, вообще говоря, не допускает обращения: если m делит порядок | , то это ещё не означает, что в группе существует подгруппа порядка m. Например, в знакопеременной группе нет подгрупп порядка 6. (Проверить самостоятельно.) Однако для абелевых групп обращение теоремы Лагранжа имеет место. Кроме того, если m = степень простого числа, то в группе существует подгруппа порядка m (см. теорему Силова).

Множество левых смежных классов обозначается через G ∕ (или же через , если есть необходимость отличать его от множества правых смежных классов ). Очевидно, что для абелевых групп , но в общем случае множество левых смежных классов может не совпадать с множеством правых смежных классов.

Примеры. 1) Пусть , , , , . Поскольку и − абелевы группы, то множества левых и правых смежных классов совпадают. Имеем следующее разложение на смежные классы:

,

где

, , .

2) Пусть , = (12)>. Разложения группы по подгруппе в левые и правые смежные классы имеют вид:

,

где

, , ;

, ,

Нормальные делители. В группах особенно важную роль играют те подгруппы, относительно которых левые и правые смежные классы совпадают. Такие подгруппы называют нормальными.

Определение. Подгруппа называется нормальной или нормальным делителем группы , что обозначается , если

для любого ,

т.е. каждый левый смежный класс совпадает с правым смежным классом .

Если – собственная подгруппа в , то пишем .

Лемма. Любое из следующих условий на подгруппу группы равносильно её нормальности:

(1) для любого .

(2) для любых , ;

Доказательство. (1) . (2)

. ∎

В абелевых группах, в силу коммутативности групповой операции, любая подгруппа является нормальным делителем.

Группа называется простой, если в ней нет неединичных собственных нормальных подгрупп. Примером таких групп являются группы простого порядка , поскольку в них, как следует из теоремы Лагранжа, нет неединичных собственных подгрупп.

В неабелевых группах могут быть подгруппы как являющиеся, так и не являющиеся нормальными делителями.

Пример. Пусть . 1) , , . Левыми смежными классами группы по являются: и , , , где . Такие же и правые классы. Значит, − нормальный делитель в . 2) Пусть теперь { , (12)}. Рассмотрим разложение в левые и правые смежные классы по подгруппе :

, (12)}∪{(13), , };

, , , .

Множества смежных классов и не совпадают. Значит, не является нормальной подгруппой в . (Замечание: термин ″ненормальная подгруппа″ рекомендуется не употреблять!)

Важным свойством нормальной подгруппы является тот факт, что множество левых (равно, как и правых) смежных классов по ней можно наделить групповой структурой .

Теорема. Пусть − нормальная подгруппа. Множество всех различных левых смежных классов | с операцией умножения

образует группу ∕ , которая называется факторгруппой группы по нормальной подгруппе .

Доказательство. Вначале докажем, что операция ∘ определена корректно, т.е. не зависит от выбора представителей смежных классов. Требуется показать, что

, .

Напомним, что . Тогда для некоторых , , имеем

, ; ,

что доказывает корректность введённой операции.

Проверим, что для структуры , выполнены все аксиомы группы. Имеем:

G1. Операция ∘ замкнута на множестве ∕ . Это очевидно.

G2. Операция ассоциативна:

( .

G3. Нейтральным элементом в является класс , где единица в .

G4. Элемент (класс) является обратным для элемента :

. ∎

Пример. Пусть , , , , где − множество целых чисел, кратных . Элементами группы являются указанные в примере смежные классы [ ], с операцией сложения , где остаток от деления на . Эту группу называют аддитивной группой целых чисел по модулю . Она ещё встретится в несколько другом качестве.

Лемма. Пусть − гомоморфизм групп. Тогда − нормальная подгруппа в .

Доказательство. Тот факт, что − подгруппа в , уже доказан в лемме. Докажем её нормальность. Пусть , − любые элементы. Тогда

(

Отсюда следует, что , и, ввиду условия (2), − нормальная подгруппа. ∎

Теорема (теорема о гомоморфизмах групп). 1) Пусть сюръективный гомоморфизм группы на группу . Тогда − нормальная подгруппа в , и

.

2) Обратно, если − группа, а − её нормальная подгруппа, то отображение

,

определяемое по правилу , является сюръективным гомоморфизмом с ядром

.

Доказательство. 1) Тот факт, что − нормальная подгруппа в , уже установлен в лемме.

Пусть − произвольный элемент, а такой элемент, что . Так как для любого , то , т.е. все элементы смежного класса отображаются при в элемент .

С другой стороны, если − любой элемент такой, что , то

,

откуда следует, что содержится в смежном классе . Таким образом, собирая все элементы группы , которые отображаются в фиксированный элемент , мы получаем точно смежный класс .

Соответствие , сопоставляющее каждому элементу тот смежный класс группы по нормальному делителю H, который состоит из всех элементов группы , имеющих элемент своим образом, будет взаимно однозначным отображением группы на . Это отображение является изоморфизмом. Действительно, если

и , т.е. и ,

то

,

а поэтому

.

Наконец, если − произвольный элемент из и , то

,

т.е. последовательное выполнение гомоморфизма и изоморфизма на самом деле отображает элемент в порождаемый им смежный класс .

2) Пусть теперь − произвольный нормальная подгруппа в . Тогда, ставя в соответствие всякому элементу тот смежный класс , в котором этот элемент лежит, мы получим отображение группы на всю факторгруппу . Из определения умножения в группе следует, что это отображение − изоморфизм. ∎