Характеристика кольца (поля).

Определение. Характеристикой кольца называется наименьшее , при котором для любого . Если такое существует, то кольцо называется кольцом положительной характеристики . Если же такое не существует, то говорят, что характеристика кольца равна нулю, а само называют кольцом нулевой характеристики.

Характеристика кольца обозначается как Char .

Примеры. 1) ℤ − кольцо, ℚ, ℝ, ℂ − поля нулевой характеристики. 2) , где , − конечное кольцо положительной характеристики .

Если − кольцо с единицей, то значение характеристики кольца полностью определяется аддитивными свойствами единицы: если при любом , то Char ; если же существуют , при которых , то Char , где − наименьшее из таких , поскольку ⟹ = 0.

Теорема. Характеристика любого ненулевого кольца с единицей и без делителей нуля равна либо нулю, либо некоторому простому числу .

Доказательство. Случай Char возможен. Пусть Char . Так как содержит не менее двух элементов, то . Допустим на минутку, что − составное число, т.е. , где , − некоторые целые. Тогда из следует, что или , или (либо и то, и другое). Пусть, для определённости, , но тогда Char , что противоречит выбору числа . Значит, − простое число. ∎

Теорема. (Равенство Шёнемана.) В коммутативном кольце простой характеристики имеет место тождество

для всех , и .

Доказательство. Согласно лемме, для любых и . Тогда

Теперь, используя индукцию по , устанавливаем первое тождество: , а из него вытекает второе: . ∎

Следствие. При тех же предположениях

для всех ,…, и , ,

Определение. Подполем поля называется подкольцо в , само являющееся полем.

Например, − поле рациональных чисел − является подполем поля вещественных чисел, которое, в свою очередь, является подполем поля комплексных чисел.

Если , то говорят, что поле является расширением своего подполя (или надполем по отношению к ). Из определения подполя следует, что нуль и единица поля лежат в и также являются для нулём и единицей.

Утверждение. Пересечение подполей и поля является подполем в .

Доказательство. Проверить выполнимость аксиом поля для ∩ . ∎

Определение. Поле называется простым, если оно не содержит никаких подполей, отличных от него самого.

Примеры. 1) Поле − простое поле для любого простого числа . Это следукт из того, что аддитивная группа , имеет простой порядок и по теореме Лагранжа не имеет собственных подгрупп. 2) − простое поле. В данном случае, наряду с числом 1, простое полполе поля должно содержать все кратные ему, а также все дроби. Но это и будет множество .

Отметим, что других простых полей, по существу отличающихся от указанных в примере, нет, о чём свидетельствует следующая

Теорема. Каждое поле содержит только одно простое поле , причём , если Char , и , если Char .

Доказательство. Допуская существование двух простых подполей и поля , мы неизбежно придём к противоречию, поскольку их пересечение содержится как в , так и в , отлично от них и является подполем поля . Значит, простое поле единственно.

Уточним структуру поля . Это поле, как всякое подполе поля , содержит единицу поля . Элементы вида , , с операциями

, , , ,

образуют коммутативное кольцо , являющееся подкольцом поля . Рассмотрим отображение

,

определяемое правилом . Это отображение является сюръективным гомоморфизмом кольца на кольцо с ядром Ker . По теореме о гомоморфизмах колец . Возможны два случая:

. В этом случае ядро тривиально, т.е. Ker Следовательно, − изоморфизм ) и дроби , имеющие смысл в (поскольку поле), образуют поле, изоморфное ℚ. Оно и будет простым подполем в .

2. . Поскольку Char − простое число, то − поле. Так что ≅ − поле. Поскольку , то на самом деле . ∎