Некоторые результаты о многочленах над конечными полями.

Теорема. Если − корень многочлена , то также является корнем многочлена .

Доказательство. Пусть . Тогда

. ∎

Теорема. Каждый многочлен степени , неприводимый над , является делителем многочлена .

Доказательство. Если , то теорема верна. Пусть и – корень многочлена в расширении . Это расширение является полем и совокупность его ненулевых элементов образует группу порядка . Поэтому порядок элемента должен быть делителем , а сам элемент − корнем многочлена . Тогда по теореме многочлен является делителем многочлена . ∎

Теорема. Каждый делитель многочлена , неприводимый над , имеет степень, равную или меньшую .

Доказательство. Пусть deg . Рассмотрим расширение поля . Это поле элементов, каждый из которых может быть представлен в виде линейной комбинации , где − корень , а , ,…, ∈ . Тогда

Но − корень многочлена , и поэтому . Отсюда следует, что

,

т.е. корень многочлена . Так как число элементов равно , а число корней многочлена равно , то и, следовательно, . ∎

Теорема. Пусть − элемент некоторого расширения поля , и пусть − минимальный многочлен над элемента . Тогда, если , то порядок элемента является делителем числа , но не является делителем никакого меньшего числа вида .

Доказательство. По теореме является делителем многочлена , а − корнем этого многочлена. Поэтому порядок является делителем числа . Предположим, что делится на порядок при . Тогда является корнем многочлена , а − делителем этого многочлена по теореме . Но тогда по теореме степень многчлена не превосходит . ∎

Теорема. Пусть − многочлен степени , неприводимый над , и пусть − корень этого многочлена в некотором расширении поля . Тогда , ,…, образуют совокупность всех корней многочлена .

Доказательство. По теореме элементы , ,…, являются корнями многочлена . Покажем, что все эти элементы различны. Допустим, что это не так и при

. Тогда

,

.

Получается, что порядок является делителем числа С другой стороны, отличается от минимального многочлена для разве что на постоянный множитель . Поэтому по теореме порядок является делителем числа , но не является делителем никакого меньшего числа Полученное противоречие означает, что все элементы , ,…, на самом деле различны. Других корней у многочлена нет, поскольку число корней не может быть больше, чем степень многочлена. ∎

Теорема. Все корни неприводимого многочлена имеют один и тот же порядок.

Доказательство. Пусть − один из корней многочлена. По теореме любой из остальных корней может быть представлен в виде при некотором . Пусть и − порядки этих корней. Тогда из соотношений

,

следует, что и . Но тогда . ∎

Определение. Порядок корней неприводимого многочлена называется показателем, которому данный многочлен принадлежит.

Если неприводимый многочлен принадлежит показателю , то он является делителем многочлена , но не является делителем многочлена при . Неприводимый многочлен степени над полем называется примитивным, если его корнем является примитивный элемент поля . Тогда этот корень и, следовательно, все корни имеют порядок , и все они − примитивные элементы. Неприводимый многочлен степени является примитивным тогда и только тогда, когда он принадлежит показателю . Наконец, неприводимый многочлен степени является примитивным тогда и только тогда, когда он не является делителем многочлена ни при каких при .

Число неприводимых многочленов заданной степени над конечным полем.

Обозначим через число унитарных неприводимых многочленов степени над полем .

Теорема.

где − функция Мёбиуса.

Доказательство. Пусть − один из унитарных неприводимых многочленов степени над , . Его поле разложения изоморфно факторкольцу . Если и имеют общий корень, то делится на . Многочлен является делителем многочлена , если . Так как многочлен не имеет кратных корней, то в его разложение входят все унитарные неприводимые многочлены

, , … ,

любой степени , причём ровно по одному разу. Поэтому

Вычисляя степени многочленов в обеих частях этого равенства, получаем соотношение:

из которого, применяя формулу обращения Мёбиуса, получаем выражение для . ∎

Из предыдущих результатов следует, что для любого существует по меньшей мере один неприводимый многочлен степени над полем . Это же подтверждает следующая грубая оценка величины :

ЛИТЕРАТУРА

Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. – М.: МЦМНО, 2001.

Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. – М: Наука, 1972.

Бухштаб А. А. Теория чисел. – М: Наука, 1966.

Винберг Э. Б. Курс алгебры. – М.: Фактория, 2002.

Воеводин В. В. Линейная алгебра. − М.: Наука, 1980.

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М.: Наука, 1947, 1979.

Виноградов И. М. Основы теории чисел. Изд. 7-ое. – М.: Наука, 1965.

Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. В 2-х т. – М.: Гелиос АРВ, 2003.

Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. – М.: Мир, 1985.

Елизаров В. П. Конечныв кольца. – М., 1993; М.: Гелиос АРВ, 2006.

Елизаров В. П., Нечаев А. А. Высшая алгебра. Ч. 1, 3. – М., 1976, Ч. 2, 4. – М., 1977.

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984.

Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.

Каргополов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1972.

Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. – М.: Мир, 1972.

Кон П. Универсальные алгебры. – М.: Мир, 1968.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 1-3. – М.: Физмат, 2000, 2002.

Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986.

Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. – М: Высшая школа, 1979.

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1944, 1967(3-е изд. ).

Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. − М.: Физмат, 1962.

Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.: Наука, 1969.

Ламбек И. Кольца и модули. – М.: Мир, 1971.

Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. – В 2-х томах. – М.: Мир, 1988.

Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра. – Екатеринбург: Изд-во УГУ, 1996.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. – М.: Мир, 1980.

Ляпин Е. С. Полугруппы. − М.: Физматгиз, 1960.

Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. Чч. 1-2. – М.: Просвещение, 1974, 1978.

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Гостехиздат, 1956.

Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. – М.: Мир, 1971.

Каргополов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1972.

Магнус В., Коррас А., Солитэр Д. Комбинатопрная тгория групп. – М: Наука, 1974.

Мальцев А. И. Алгебраические системы. − М.: Наука, 1970.

Общая алгебра. Справочная математическая библиотека. Т. 1,2. – М: Наука, 1990.

Окунев Л. Я. Высшая алгебра. − М.: Просвещение, 1966.

Скорняков Л. А. Элементы алгебры. – М: Наука, 1980.

Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. – М: Наука, 1983.

Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношгний в группах. – М: Наука, 1989.

Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. – М: Наука, 1966.

Погорелов Б. А. Основы теории групп подстановок. – М., 1985.

Постников М. М. Основы теории Галуа. − М.: Физматгиз, 1960.

Прасолов В. Многочлены. − М.: МЦМНО, 1999.

Узков А. И. Поля. – М., 1969.

Узков А. И. Группы и теория Галуа. – М., 1971.

Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. – М: Наука, 1984.

Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Тт. 1-2. – М.: Мир, 1974, 1977.

Холл Теория групп. – М: ИЛ, 1962.

Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. – М; Ижевск, R&C Dinamics, 2001.

ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ

Кассами Т., Токура Н., Ивадари Е., Инагаки Я. Теория кодирования. – М.: Мир, 1978.

Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. – М.: Связь, 1979.

Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. – М.: Мир, 1976.