Морфизмы колец.

Определение. Пусть , кольца. Отображение называется кольцевым гомоморфизмом, если оно сохраняет обе операции, т.е.

;

для любых , . (Знаки и в левой и правой частях этих равенств имеют разный смысл: слева это операции в кольце , справа в кольце .)

Далее вместо ″кольцевой гомоморфизм″ будем говорить также ″гомоморфизм колец″ или просто ″гомоморфизм″, если ясно, что речь идёт о кольцах.

Ядром кольцевого гомоморфизма называется множество

},

где − нуль в кольце .

Теорема. Ядро кольцевого гомоморфизма всегда является идеалом в .

Доказательство. Пусть , . Тогда

, , .

Очевидно, что − подкольцо в , но тогда и идеал в . ∎

Теорема. Пусть − гомоморфизм колец. Тогда образ отображения − подкольцо в .

Доказательство. Поскольку − гомоморфизм аддитивных абелевых групп, то, согласно теореме , − аддитивная абелева группа (подгруппа группы , ). Пусть

, , а , таковы, что , Тогда

,

т.е. замкнуто относительно умножения в . Поскольку остальные аксиомы кольца − ассоциативность умножения и дистрибутивные законы − для заведомо выполняются, то − подкольцо в . ∎

В дополнение к теореме отметим, что для любых , . Если − кольцо с единицей, то служит единицей кольца , но может не быть единицей кольца . Элемент обязан быть единицей кольца , если .

Гомоморфизм называется:

мономорфизмом, или инъективным гомоморфизмом, если (в этом случае − инъекция, т.е. , если ;

эпиморфизмом, или сюръективным гомоморфизмом, если образ отображения совпадает с , т.е. (в этом случае − сюръекция, т.е. для любого существует такой, что );

изоморфизмом, или биективным гомоморфизмом, если мономорфно и эпиморфно (в этом случае − биекция, т.е. взаимно однозначное отображение). Факт изоморфизма записывается как .

Утверждение. Если − изоморфизм колец, то обратное (в теоретико-множест- венном смысле) отображение также является изоморфизмом колец.

Доказательство этого утверждения нетрудно осуществить по аналогии с доказательством соответствующего утверждения об изоморфизмах групп. ∎

Ясно, что инъективный кольцевой гомоморфизм устанавливает изоморфизм между кольцом и его образом .

Классы вычетов и факторкольца.

Пусть − идеал кольца . Поскольку каждый идеал кольца является нормальной подгруппой аддитивной группы кольца, то идеал задаёт некоторое разбиение множества на смежные классы по аддитивной подгруппе . В данном случае эти классы называются классами вычетов кольца по модулю идеала . Соответствующее множество классов (фактор-множество) обозначим через . Класс вычетов, содержащий элемент , будем обозначать через = ; он состоит из элементов вида , ∈ . Так как один и тот же класс может быть представлен разными элементами, то будет уместно напомнить, что ⟺ .

Лемма. Пусть и . Тогда и .

Доказательство. Из и следует, что и для некоторых , . Тогда

( )−( = ;

∎

На элементах (классах) множества определим операции ⊕ (сложение) и ⊙ (умножение), полагая:

, .

Из доказанной выше леммы следует, что эти операции определены корректно, т.е. не зависят от выбора представителей классов вычетов.

Теорема. Структура ( , ⊕, ⊙) является кольцом, которое называют факторкольцом кольца по идеалу .

Доказательство. Проверим выполнимость аксиом кольца. Тот факт, что ( , ⊕) –группа по существу уже доказан ранее в теореме. Сложение коммутативно:

.

Значит, группа , абелева. Операция умножения ассоциативна:

.

Дистрибутивные законы также выполняются:

( ,

. ∎

Элементы , , принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю идеала , будем называть сравнимыми по модулю и записывать это как . Отметим следующие свойства определённого сравнения: если , то

, , и

для любых и ; если, кроме того, , то и .

Пример. (Продолжение примера.) Пусть , +, − кольцо целых чисел,

, , , где , − идеал (главный) в кольце , состоящий из чисел, кратных . Элементами кольца , , являются те же смежные классы, что и в примере с операциями: , , где и − остатки от деления соответственно и на . Это кольцо называют кольцом целых чисел по модулю и обозначают обычно через .

О кольце .

Теорема. Кольцо является полем тогда и только тогда, когда − простое число.

Доказательство. Пусть − составное число, т.е. для некоторых целых , . Тогда , откуда следует, что − кольцо с делителями нуля. Значит, − не поле.

Теперь предположим, что − простое число. Пусть – любой ненулевой элемент. Так как при , то элементы , , …, различны и совпадают с элементами , , …, (но, возможно, в другом порядке), то

].

На языке сравнений это означает, что . Так как числа , , …, ) взаимно просты с , то обе части полученного сравнения можно сократить на эти числа. В результате получаем

,

т.е. элемент имеет обратный. Значит, − поле. ∎

Из этой теоремы следует, что существуют поля, содержащие конечное число элементов. Они находят многочисленные применения в различных областях математики. Конечное поле, содержащее элементов, будем обозначать через (используют также обозначение – от − поле Галуа − по имени фр. математика Э. Галуа, заложившего фундаментальные основы теории групп). В частности, , если − простое число. Заметим, что и , как кольца с делителями нуля, не являются полями. Вместе с тем поле существует, а поле не существует. Далее будет установлено, при каких существует поле , и уточнено строение этих полей.

Теорема (основная теорема о гомоморфизмах колец). Пусть , − . Тогда:

1) Если − сюръективный гомоморфизм, то − идеал в , а .

2) Обратно, если − идеал в , то отображение , определяемое по правилу , является сюръективным гомоморфизмом с ядром .

Гомоморфизм называют естественным, или каноническим.

Доказательство. 1) Тот факт, что − идеал в , доказан в лемме. Покажем, что изоморфизм между и устанавливается с помощью отображения , сопоставляющего классу вычетов элемент . Отображение определено корректно: если тот же класс вычетов. что и , то для некоторого и

,

так что значение определено однозначно. Далее, если , то , поскольку в противном случае приходим к противоречию:

.

Следовательно, − инъекция. Поскольку сюръекция, т.е. , то для любого найдётся такой, что . Отсюда следует, что и − сюръекция, но тогда − биекция. Кроме того, для любых , имеем

и, аналогично,

.

Следовательно, −изоморфизм.

2) Для любых , имеем

и, аналогично,

.

Следовательно, − гомоморфизм, очевидно, сюръективный. Так как

и ,

то . ∎